Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} y^{2}$ , $y (16) = 6$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{2})$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $x^{\frac{1}{2}} y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2}} d y = x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $- y^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + K$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, 3, 1$

Passaggio 3.2.2

Poiché $y, 3, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 3, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $y^{1}$ .

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.5

Poiché $3$ non presenta fattori eccetto $1$ e $3$ .

$3$ è un numero primo

Passaggio 3.2.6

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.7

Il minimo comune multiplo di $1, 3, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$3$

Passaggio 3.2.8

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.2.9

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y$

Passaggio 3.2.10

Il minimo comune multiplo di $y, 3, 1$ è la parte numerica $3$ moltiplicata per la parte variabile.

$3 y$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $3 y$ ciascun termine in $- \frac{1}{y} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + K$ per $3 y$ .

$- \frac{1}{y} (3 y) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y} (3 y) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.2.1.2

Scomponi $y$ da $3 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 3 = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 3 = 3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} y + K (3 y)$

Passaggio 3.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 3 = 3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} y + K (3 y)$

Passaggio 3.3.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 3 = 2 x^{\frac{3}{2}} y + K (3 y)$

Passaggio 3.3.3.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 3 = 2 x^{\frac{3}{2}} y + 3 K y$

Passaggio 3.3.3.2

Riordina i fattori in $2 x^{\frac{3}{2}} y + 3 K y$ .

$- 3 = 2 y x^{\frac{3}{2}} + 3 K y$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $2 y x^{\frac{3}{2}} + 3 K y = - 3$ .

$2 y x^{\frac{3}{2}} + 3 K y = - 3$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $y$ da $2 y x^{\frac{3}{2}} + 3 K y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $y$ da $2 y x^{\frac{3}{2}}$ .

$y (2 x^{\frac{3}{2}}) + 3 K y = - 3$

Passaggio 3.4.2.2

Scomponi $y$ da $3 K y$ .

$y (2 x^{\frac{3}{2}}) + y (3 K) = - 3$

Passaggio 3.4.2.3

Scomponi $y$ da $y (2 x^{\frac{3}{2}}) + y (3 K)$ .

$y (2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K) = - 3$

Passaggio 3.4.3

Dividi per $2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K$ ciascun termine in $y (2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K) = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Dividi per $2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K$ ciascun termine in $y (2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K) = - 3$ .

$\frac{y (2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K)}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K} = \frac{- 3}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K}$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 3}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K}$

Passaggio 3.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} + K}$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $16$ e $y$ con $6$ in $y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} + K}$ .

$6 = - \frac{3}{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K}$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{3}{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K} = 6$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K} = 6$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + K} = 6$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K} = 6$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3}{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K} = 6$

Passaggio 6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{3}{2 \cdot 4^{3} + K} = 6$

Passaggio 6.2.4

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 64 + K} = 6$

Passaggio 6.2.5

Moltiplica $2$ per $64$ .

$- \frac{3}{128 + K} = 6$

Passaggio 6.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$128 + K, 1$

Passaggio 6.3.2

Rimuovi le parentesi.

$128 + K, 1$

Passaggio 6.3.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$128 + K$

Passaggio 6.4

Moltiplica per $128 + K$ ciascun termine in $- \frac{3}{128 + K} = 6$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{3}{128 + K} = 6$ per $128 + K$ .

$- \frac{3}{128 + K} (128 + K) = 6 (128 + K)$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Elimina il fattore comune di $128 + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{128 + K}$ nel numeratore.

$\frac{- 3}{128 + K} (128 + K) = 6 (128 + K)$

Passaggio 6.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3}{128 + K} (128 + K) = 6 (128 + K)$

Passaggio 6.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 3 = 6 (128 + K)$

Passaggio 6.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 = 6 \cdot 128 + 6 K$

Passaggio 6.4.3.2

Moltiplica $6$ per $128$ .

$- 3 = 768 + 6 K$

Passaggio 6.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Riscrivi l'equazione come $768 + 6 K = - 3$ .

$768 + 6 K = - 3$

Passaggio 6.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Sottrai $768$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 K = - 3 - 768$

Passaggio 6.5.2.2

Sottrai $768$ da $- 3$ .

$6 K = - 771$

Passaggio 6.5.3

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 K = - 771$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 K = - 771$ .

$\frac{6 K}{6} = \frac{- 771}{6}$

Passaggio 6.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 K}{6} = \frac{- 771}{6}$

Passaggio 6.5.3.2.1.2

Dividi $K$ per $1$ .

$K = \frac{- 771}{6}$

Passaggio 6.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 771$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.3.1.1

Scomponi $3$ da $- 771$ .

$K = \frac{3 (- 257)}{6}$

Passaggio 6.5.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$K = \frac{3 \cdot - 257}{3 \cdot 2}$

Passaggio 6.5.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$K = \frac{3 \cdot - 257}{3 \cdot 2}$

Passaggio 6.5.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$K = \frac{- 257}{2}$

Passaggio 6.5.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$K = - \frac{257}{2}$

Passaggio 7

Sostituisci $- \frac{257}{2}$ a $K$ in $y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} + K}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $- \frac{257}{2}$ a $K$ .

$y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{257}{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Per scrivere $2 x^{\frac{3}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{257}{2}}$

Passaggio 7.2.2

$2 x^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3}{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{257}{2}}$

Passaggio 7.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{3}{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 257}{2}}$

Passaggio 7.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = - \frac{3}{\frac{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}{2}}$

Passaggio 7.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = - (3 \frac{2}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257})$

Passaggio 7.4

Moltiplica $3 \frac{2}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

$3$ e $\frac{2}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y = - \frac{6}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}$