Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y}$ e $y (1) = - 3$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = 2 x$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y d y = 2 x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ come $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x^{2} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 x^{2} + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{2 x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 2 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $2$ da $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $2$ da $2 (x^{2}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Passaggio 4

Poiché $y$ è negativa nella condizione iniziale $(1, - 3)$ , considera solo $y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$ per calcolare $K$ . Sostituisci $1$ a $x$ e $- 3$ a $y$ .

$- 3 = - \sqrt{2 (1^{2} + K)}$

Passaggio 5

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $- \sqrt{2 (1^{2} + K)} = - 3$ .

$- \sqrt{2 (1^{2} + K)} = - 3$

Passaggio 5.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(- \sqrt{2 (1^{2} + K)})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 (1^{2} + K)}$ come ${(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ${(- {(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

${(- {(2 (1 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

${(- {(2 \cdot 1 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

${(- {(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.3.2

Applica la regola del prodotto a $- {(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 {({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.3.4

Moltiplica ${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ per $1$ .

${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.3.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.3.5.2.1

Elimina il fattore comune.

${(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.3.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2 + 2 K)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.4

Semplifica.

$2 + 2 K = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$2 + 2 K = 9$

Passaggio 5.4

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 K = 9 - 2$

Passaggio 5.4.1.2

Sottrai $2$ da $9$ .

$2 K = 7$

Passaggio 5.4.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 K = 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 K = 7$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

Passaggio 5.4.2.2.1.2

Dividi $K$ per $1$ .

$K = \frac{7}{2}$

Passaggio 6

Sostituisci $\frac{7}{2}$ a $K$ in $y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci $\frac{7}{2}$ a $K$ .

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + \frac{7}{2})}$

Passaggio 6.2

Per scrivere $x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = - \sqrt{2 (x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2})}$

Passaggio 6.3

$x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = - \sqrt{2 (\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{7}{2})}$

Passaggio 6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \sqrt{2 \frac{x^{2} \cdot 2 + 7}{2}}$

Passaggio 6.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$y = - \sqrt{2 \frac{2 x^{2} + 7}{2}}$

Passaggio 6.6

$2$ e $\frac{2 x^{2} + 7}{2}$ .

$y = - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}}$

Passaggio 6.7

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Riduci l'espressione $\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}}$

Passaggio 6.7.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = - \sqrt{\frac{2 x^{2} + 7}{1}}$

Passaggio 6.7.2

Dividi $2 x^{2} + 7$ per $1$ .

$y = - \sqrt{2 x^{2} + 7}$