Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per ${(2 y + 1)}^{2}$ .

${(2 y + 1)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(2 y + 1)}^{2} \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di ${(2 y + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(2 y + 1)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(2 y + 1)}^{2} \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2 y + 1)}^{2} \frac{d y}{d x} = 4$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

${(2 y + 1)}^{2} d y = 4 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int {(2 y + 1)}^{2} d y = \int 4 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 2 y + 1$ . Allora $d u = 2 d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 2 y + 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{2} \frac{1}{2} d u = \int 4 d x$

Passaggio 2.2.2

$u^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{2}}{2} d u = \int 4 d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int u^{2} d u = \int 4 d x$

Passaggio 2.2.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{1}) = \int 4 d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{1})$ come $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Passaggio 2.2.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} u^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Passaggio 2.2.5.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{6} u^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 y + 1$ .

$\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3} + C_{1} = 4 x + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3} = 4 x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $6$ .

$6 (\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3}) = 6 (4 x + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $6 (\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{6}$ e ${(2 y + 1)}^{3}$ .

$6 \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{6} = 6 (4 x + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{6} = 6 (4 x + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2 y + 1)}^{3} = 6 (4 x + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $6 (4 x + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

${(2 y + 1)}^{3} = 6 (4 x) + 6 K$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $4$ per $6$ .

${(2 y + 1)}^{3} = 24 x + 6 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$2 y + 1 = \sqrt[3]{24 x + 6 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\sqrt[3]{24 x + 6 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi.

$2 y + 1 = 0 + 0 + \sqrt[3]{24 x + 6 K}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$2 y + 1 = \sqrt[3]{24 x + 6 K}$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $6$ da $24 x + 6 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $6$ da $24 x$ .

$2 y + 1 = \sqrt[3]{6 (4 x) + 6 K}$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $6$ da $6 K$ .

$2 y + 1 = \sqrt[3]{6 (4 x) + 6 K}$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $6$ da $6 (4 x) + 6 K$ .

$2 y + 1 = \sqrt[3]{6 (4 x + K)}$

Passaggio 3.5

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y = \sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1$

Passaggio 3.6

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.6.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1}{2}$