Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x^{3} \ln (x)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = x^{3} \ln (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int x^{3} \ln (x) d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int x^{3} \ln (x) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x^{3}$ .

$y + C_{1} = \ln (x) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.2.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$y + C_{1} = \ln (x) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.2.2

$\ln (x)$ e $\frac{x^{4}}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

$x^{4}$ e $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4}}{x} d x)$

Passaggio 2.3.4.2

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x$ .

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Passaggio 2.3.4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

Passaggio 2.3.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

Passaggio 2.3.4.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Passaggio 2.3.4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Passaggio 2.3.4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{3}}{1} d x)$

Passaggio 2.3.4.2.2.5

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)$

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int x^{3} d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.3.6.1

Riscrivi $\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ come $\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.2.1

$\frac{1}{4}$ e $\ln (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x)}{4} x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2.2

$\frac{\ln (x)}{4}$ e $x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2.3

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2.4

Moltiplica $4$ per $4$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Riordina i termini.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} \ln (x) - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{4} x^{4} \ln (x) - \frac{1}{16} x^{4} + K$