Calcolo Esempi

$(\arctan (x) + x y) d x + (e^{y} + \frac{x^{2}}{2}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = \arctan (x) + x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x) + x y]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\arctan (x) + x y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $\arctan (x)$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\arctan (x)$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x y$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

Passaggio 1.4

Somma $0$ e $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{x^{2}}{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $e^{y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $e^{y}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} (2 x)$

Passaggio 2.3.3

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2}{2} x$

Passaggio 2.3.4

$\frac{2}{2}$ e $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

Passaggio 2.3.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

Passaggio 2.3.5.2

Dividi $x$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x$

Passaggio 2.4

Somma $0$ e $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$x = x$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$x = x$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{y} + \frac{x^{2}}{2} d y$

Passaggio 5

Integra $N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int e^{y} d y + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

Passaggio 5.2

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$f (x, y) = e^{y} + C + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

Passaggio 5.3

Applica la regola costante.

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2}}{2} y + C$

Passaggio 5.4

$\frac{x^{2}}{2}$ e $y$ .

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2} y}{2} + C$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \arctan (x) + x y$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)] = \arctan (x) + x y$

Passaggio 8.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Passaggio 8.2.2

Poiché $e^{y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $e^{y}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Passaggio 8.3.2

$\frac{x^{2}}{2}$ e $y$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Passaggio 8.3.3

Poiché $\frac{y}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{2} y}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Passaggio 8.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + \frac{y}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Passaggio 8.3.5

$2$ e $\frac{y}{2}$ .

$0 + \frac{2 y}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Passaggio 8.3.6

$\frac{2 y}{2}$ e $x$ .

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Passaggio 8.3.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Passaggio 8.3.7.2

Dividi $y x$ per $1$ .

$0 + y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

Passaggio 8.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Somma $0$ e $y x$ .

$y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

Passaggio 8.5.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + x y = \arctan (x) + x y$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y - x y$

Passaggio 9.1.2

Combina i termini opposti in $\arctan (x) + x y - x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Sottrai $x y$ da $x y$ .

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + 0$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $\arctan (x)$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $\arctan (x)$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \arctan (x) d x$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \arctan (x) d x$

Passaggio 10.3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \arctan (x)$ e $d v = 1$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 10.4

$x$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 10.5

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 10.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 10.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 10.5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 10.5.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 10.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 10.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 10.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Passaggio 10.6.3

Moltiplica $2$ per $u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 10.7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$g (x) = \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 10.8

Rimuovi le parentesi.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 10.9

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 10.10

Semplifica.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Passaggio 10.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Passaggio 12

Semplifica $f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Passaggio 12.1.2

$\frac{x^{2}}{2}$ e $y$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Passaggio 12.1.3

Moltiplica $- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Riordina $\ln (| x^{2} + 1 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Passaggio 12.1.3.2

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 12.2

Per scrivere $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Passaggio 12.3

$- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} + \frac{- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 12.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 12.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Moltiplica $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Passaggio 12.5.1.2

Semplifica $- 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

Passaggio 12.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Passaggio 12.5.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Passaggio 12.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{1})}{2} + C$

Passaggio 12.5.3

Semplifica.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Passaggio 12.6

Riordina i fattori in $f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$ .

$f (x, y) = e^{y} + x \arctan (x) + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$