Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x {(2 + x^{2})}^{4}$ , $y (0) = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = x {(2 + x^{2})}^{4} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int x {(2 + x^{2})}^{4} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int x {(2 + x^{2})}^{4} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u = 2 + x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = 2 + x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $2 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{4} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.2

$u^{4}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{4}}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{4} d u$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C_{2})$ come $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 5} u^{5} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{10} u^{5} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 + x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $0$ in $y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + K$ .

$0 = \frac{1}{10} {(2 + 0^{2})}^{5} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{10} \cdot {(2 + 0^{2})}^{5} + K = 0$ .

$\frac{1}{10} \cdot {(2 + 0^{2})}^{5} + K = 0$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot {(2 + 0)}^{5} + K = 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot 2^{5} + K = 0$

Passaggio 4.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$\frac{1}{10} \cdot 32 + K = 0$

Passaggio 4.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$\frac{1}{2 (5)} \cdot 32 + K = 0$

Passaggio 4.2.4.2

Scomponi $2$ da $32$ .

$\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + K = 0$

Passaggio 4.2.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + K = 0$

Passaggio 4.2.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5} \cdot 16 + K = 0$

Passaggio 4.2.5

$\frac{1}{5}$ e $16$ .

$\frac{16}{5} + K = 0$

Passaggio 4.3

Sottrai $\frac{16}{5}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = - \frac{16}{5}$

Passaggio 5

Sostituisci $- \frac{16}{5}$ a $K$ in $y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $- \frac{16}{5}$ a $K$ .

$y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Usa il teorema binomiale.

$y = \frac{1}{10} (2^{5} + 5 \cdot 2^{4} x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 5 \cdot 2^{4} x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 5 \cdot 16 x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.2.3

Moltiplica $5$ per $16$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 10 \cdot 8 {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.2.5

Moltiplica $10$ per $8$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.2.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{2 \cdot 2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.2.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.2.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 10 \cdot 4 {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.2.8

Moltiplica $10$ per $4$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.2.9

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.9.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{2 \cdot 3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.2.9.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.2.10

Moltiplica $5$ per $2$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.2.11

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.11.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{2 \cdot 4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.2.11.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{8} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.2.12

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.12.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{8} + x^{2 \cdot 5}) - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.2.12.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{8} + x^{10}) - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1}{10} \cdot 32 + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$y = \frac{1}{2 (5)} \cdot 32 + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.4.1.2

Scomponi $2$ da $32$ .

$y = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.4.1.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.4.1.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{1}{5} \cdot 16 + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.4.2

$\frac{1}{5}$ e $16$ .

$y = \frac{16}{5} + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.4.3

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Scomponi $10$ da $80 x^{2}$ .

$y = \frac{16}{5} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{2})) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{16}{5} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{2})) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.4.4

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1

Scomponi $10$ da $80 x^{4}$ .

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{4})) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.4.4.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{4})) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.4.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.4.5

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.5.1

Scomponi $10$ da $40 x^{6}$ .

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + \frac{1}{10} (10 (4 x^{6})) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.4.5.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + \frac{1}{10} (10 (4 x^{6})) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.4.5.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.4.6

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.6.1

Scomponi $10$ da $10 x^{8}$ .

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + \frac{1}{10} (10 (x^{8})) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.4.6.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.4.6.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.2.4.7

$\frac{1}{10}$ e $x^{10}$ .

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} - \frac{16}{5}$

Passaggio 5.3

Combina i termini opposti in $\frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} - \frac{16}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} + \frac{16 - 16}{5}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $16$ da $16$ .

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} + \frac{0}{5}$

Passaggio 5.3.3

Dividi $0$ per $5$ .

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} + 0$

Passaggio 5.3.4

Somma $8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10}$ e $0$ .

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10}$