Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (x)$ come $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Passaggio 2.3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int \cos (2 x) d x)$

Passaggio 2.3.5

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.5.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.5.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.5.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.5.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 2.3.6

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 2.3.7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 2.3.8

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{3}))$

Passaggio 2.3.9

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{4}$

Passaggio 2.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C_{4}$

Passaggio 2.3.11

Semplifica.

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Passaggio 2.3.11.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.11.3

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$y + C_{1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.11.4

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

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Passaggio 2.3.11.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.11.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12

Riordina i termini.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + K$