Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$ , $y (0) = 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} (\frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x))$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

$\frac{y}{1 + y^{2}}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $1 + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Passaggio 1.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Scomponi $y$ da $y \cos (x)$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Passaggio 1.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Passaggio 1.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1 + y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1 + y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int \frac{1}{y} + \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3.2.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{1} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3.2.5

Dividi $y$ per $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int y d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int y d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$\ln (| y |) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.7

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $1$ in $\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |) = \sin (0) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ .

$\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica $\sin (0) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$0 + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $0$ e $C$ .

$C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$C = \frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |)$

Passaggio 4.3.1.1.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$C = \frac{1}{2} + \ln (| 1 |)$

Passaggio 4.3.1.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$C = \frac{1}{2} + \ln (1)$

Passaggio 4.3.1.1.4

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$C = \frac{1}{2} + 0$

Passaggio 4.3.1.2

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$C = \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Sostituisci $\frac{1}{2}$ a $C$ in $\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $\frac{1}{2}$ a $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$