Calcolo Esempi

\frac{d y}{d x} = \frac{y cos (x)}{1 + y^{2}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$ ,

y (0) = 1

$y (0) = 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} cos (x)

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per

\frac{1 + y^{2}}{y}

$\frac{1 + y^{2}}{y}$ .

\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} (\frac{y}{1 + y^{2}} cos (x))

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} (\frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x))$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

\frac{y}{1 + y^{2}}

$\frac{y}{1 + y^{2}}$ e

cos (x)

$\cos (x)$ .

\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y cos (x)}{1 + y^{2}}

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di

1 + y^{2}

$1 + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Passaggio 1.3.3

Elimina il fattore comune di

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Scomponi

$y$ da

$y \cos (x)$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Passaggio 1.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Passaggio 1.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1 + y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1 + y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int \frac{1}{y} + \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di

$y^{2}$ e

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi

$y$ da

$y^{2}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Eleva

$y$ alla potenza di

$1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3.2.2

Scomponi

$y$ da

$y^{1}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{1} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.3.2.5

Dividi

$y$ per

$1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int y d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di

$\frac{1}{y}$ rispetto a

$y$ è

$\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int y d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di

$y$ rispetto a

$y$ è

$\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$\ln (| y |) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.7

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di

$\cos (x)$ rispetto a

$x$ è

$\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come

$C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di

$C$ sostituendo

$x$ con

$0$ e

$y$ con

$1$ in

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |) = \sin (0) + C$

Passaggio 4

Risolvi per

$C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come

$\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ .

$\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica

$\sin (0) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Il valore esatto di

$\sin (0)$ è

$0$ .

$0 + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Passaggio 4.2.1.2

Somma

$0$ e

$C$ .

$C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$C = \frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |)$

Passaggio 4.3.1.1.2

Moltiplica

$\frac{1}{2}$ per

$1$ .

$C = \frac{1}{2} + \ln (| 1 |)$

Passaggio 4.3.1.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$1$ è

$1$ .

$C = \frac{1}{2} + \ln (1)$

Passaggio 4.3.1.1.4

Il logaritmo naturale di

$1$ è

$0$ .

$C = \frac{1}{2} + 0$

Passaggio 4.3.1.2

Somma

$\frac{1}{2}$ e

$0$ .

$C = \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Sostituisci

$\frac{1}{2}$ a

$C$ in

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci

$\frac{1}{2}$ a

$C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{2}$ e

$y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$