Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = \frac{4 t^{2}}{5 y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{4 t^{2}}{5 y}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y$ da $5 y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{4 t^{2}}{y \cdot 5}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{4 t^{2}}{y \cdot 5}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d t} = \frac{4 t^{2}}{5}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y d y = \frac{4 t^{2}}{5} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{4 t^{2}}{5} d t$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{4 t^{2}}{5} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{4}{5}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{4}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{4}{5} \int t^{2} d t$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{4}{5} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $\frac{4}{5} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ come $\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{4}{5}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{4}{5 \cdot 3} t^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{4}{15} t^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{4}{15} t^{3} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{4}{15} t^{3} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{4}{15} t^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{4}{15} t^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (\frac{4}{15} t^{3} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{4}{15} t^{3} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{4}{15}$ e $t^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{4 t^{3}}{15} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{4 t^{3}}{15} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $2 \frac{4 t^{3}}{15}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

$2$ e $\frac{4 t^{3}}{15}$ .

$y^{2} = \frac{2 (4 t^{3})}{15} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y^{2} = \frac{8 t^{3}}{15} + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{8 t^{3}}{15} + 2 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{8 t^{3}}{15} + 2 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $\frac{8 t^{3}}{15} + 2 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $2$ da $\frac{8 t^{3}}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 t^{3}}{15} + 2 K}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi $2$ da $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 t^{3}}{15} + 2 K}$

Passaggio 3.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 \frac{4 t^{3}}{15} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{4 t^{3}}{15} + K)}$

Passaggio 3.4.2

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{4 t^{3}}{15} + K \cdot \frac{15}{15})}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

$K$ e $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{4 t^{3}}{15} + \frac{K \cdot 15}{15})}$

Passaggio 3.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 t^{3} + K \cdot 15}{15}}$

Passaggio 3.4.4

Sposta $15$ alla sinistra di $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{4 t^{3} + 15 K}{15}}$

Passaggio 3.4.5

$2$ e $\frac{4 t^{3} + 15 K}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (4 t^{3} + 15 K)}{15}}$

Passaggio 3.4.6

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 (4 t^{3} + 15 K)}{15}}$ come $\frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$ per $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 3.4.8

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$ per $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Passaggio 3.4.8.2

Eleva $\sqrt{15}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}}$

Passaggio 3.4.8.3

Eleva $\sqrt{15}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}}$

Passaggio 3.4.8.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.8.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Passaggio 3.4.8.6

Riscrivi ${\sqrt{15}}^{2}$ come $15$ .

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Passaggio 3.4.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{15}$ come $15^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4.8.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.8.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.8.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.8.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{1}}$

Passaggio 3.4.8.6.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15}$

Passaggio 3.4.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.9.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 t^{3} + 15 K) \cdot 15}}{15}$

Passaggio 3.4.9.2

Moltiplica $15$ per $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{30 (4 t^{3} + 15 K)}}{15}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{30 (4 t^{3} + 15 K)}}{15}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{30 (4 t^{3} + 15 K)}}{15}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{30 (4 t^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (4 t^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{30 (4 t^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (4 t^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{30 (4 t^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (4 t^{3} + 15 K)}}{15}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{30 (4 t^{3} + K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (4 t^{3} + K)}}{15}$