Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} - 4 y + 2 x = 0$ , $y (1) = 10$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d y}{d x} - 4 y = - 2 x$

Passaggio 1.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} - 4 y = - 2 x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

Passaggio 1.3.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

Passaggio 1.4.2

Dividi $- 2$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = - 2$

Passaggio 1.5

Scomponi $y$ da $\frac{- 4 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 4}{x} = - 2$

Passaggio 1.6

Riordina $y$ e $\frac{- 4}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4}{x} y = - 2$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{- 4}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{- 4}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{- 4}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$e^{- 4 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 4 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 4})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 4}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x^{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x^{4}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Passaggio 3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- \frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} (\frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Passaggio 3.2.4

$\frac{4}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Moltiplica $\frac{4 y}{x}$ per $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x \cdot x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Passaggio 3.2.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1} x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Passaggio 3.2.5.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1 + 4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Passaggio 3.2.5.2.2

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{x^{4}}$ e $- 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{- 2}{x^{4}}$

Passaggio 3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = - \frac{2}{x^{4}}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] = - \frac{2}{x^{4}}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] d x = \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x^{4}} y = \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{x^{4}} y = - \int \frac{2}{x^{4}} d x$

Passaggio 7.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{x^{4}} y = - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Passaggio 7.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Passaggio 7.3.2

Sposta $x^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Passaggio 7.3.3.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int x^{- 4} d x$

Passaggio 7.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Passaggio 7.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.1

$x^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Passaggio 7.5.1.2

Sposta $x^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Passaggio 7.5.2

Semplifica.

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Passaggio 7.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = 2 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Passaggio 7.5.3.2

$2$ e $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = \frac{2}{3 x^{3}} + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Sottrai $\frac{2}{3 x^{3}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x^{4}} y - \frac{2}{3 x^{3}} = C$

Passaggio 8.1.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x^{4}} y - \frac{2}{3 x^{3}} - C = 0$

Passaggio 8.1.3

$\frac{1}{x^{4}}$ e $y$ .

$\frac{y}{x^{4}} - \frac{2}{3 x^{3}} - C = 0$

Passaggio 8.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Somma $\frac{2}{3 x^{3}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{x^{4}} - C = \frac{2}{3 x^{3}}$

Passaggio 8.2.2

Somma $C$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{x^{4}} = \frac{2}{3 x^{3}} + C$

Passaggio 8.3

Moltiplica ogni lato per $x^{4}$ .

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$

Passaggio 8.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$

Passaggio 8.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$

Passaggio 8.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Semplifica $(\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2}{3 x^{3}} x^{4} + C x^{4}$

Passaggio 8.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.1

Scomponi $x^{3}$ da $3 x^{3}$ .

$y = \frac{2}{x^{3} \cdot 3} x^{4} + C x^{4}$

Passaggio 8.4.2.1.2.2

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4}$ .

$y = \frac{2}{x^{3} \cdot 3} (x^{3} x) + C x^{4}$

Passaggio 8.4.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2}{x^{3} \cdot 3} (x^{3} x) + C x^{4}$

Passaggio 8.4.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{2}{3} x + C x^{4}$

Passaggio 8.4.2.1.3

$\frac{2}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + C x^{4}$

Passaggio 8.4.2.1.4

Riordina $\frac{2 x}{3}$ e $C x^{4}$ .

$y = C x^{4} + \frac{2 x}{3}$

Passaggio 9

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $10$ in $y = C x^{4} + \frac{2 x}{3}$ .

$10 = C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3}$

Passaggio 10

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi l'equazione come $C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3} = 10$ .

$C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3} = 10$

Passaggio 10.2

Semplifica $C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$C \cdot 1^{4} + \frac{2}{3} = 10$

Passaggio 10.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$C \cdot 1 + \frac{2}{3} = 10$

Passaggio 10.2.2.2

Moltiplica $C$ per $1$ .

$C + \frac{2}{3} = 10$

Passaggio 10.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sottrai $\frac{2}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 10 - \frac{2}{3}$

Passaggio 10.3.2

Per scrivere $10$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$C = 10 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Passaggio 10.3.3

$10$ e $\frac{3}{3}$ .

$C = \frac{10 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Passaggio 10.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$C = \frac{10 \cdot 3 - 2}{3}$

Passaggio 10.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.5.1

Moltiplica $10$ per $3$ .

$C = \frac{30 - 2}{3}$

Passaggio 10.3.5.2

Sottrai $2$ da $30$ .

$C = \frac{28}{3}$

Passaggio 11

Sostituisci $\frac{28}{3}$ a $C$ in $y = C x^{4} + \frac{2 x}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci $\frac{28}{3}$ a $C$ .

$y = \frac{28}{3} x^{4} + \frac{2 x}{3}$

Passaggio 11.2

$\frac{28}{3}$ e $x^{4}$ .

$y = \frac{28 x^{4}}{3} + \frac{2 x}{3}$