Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 2 x e^{x^{2} + y}$

Passaggio 1

Sia $v = e^{x^{2} + y}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{x^{2} + y}$ con $v$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x v$

Passaggio 2

Trova $\frac{d v}{d x}$ differenziando $e^{x^{2} + y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2} + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2} + y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} + y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} + y} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} + y} (2 x + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

Passaggio 3

Sostituisci $v$ a $e^{x^{2} + y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (2 x + y')$

Passaggio 4

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} - 2 x = 2 x v$

Passaggio 5

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Risolvi per $\frac{d v}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Somma $2 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 2 x v + 2 x$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica ogni lato per $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (2 x v + 2 x) v$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (2 x v + 2 x) v$

Passaggio 5.1.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} = (2 x v + 2 x) v$

Passaggio 5.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Semplifica $(2 x v + 2 x) v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d v}{d x} = 2 x v \cdot v + 2 x v$

Passaggio 5.1.3.2.1.2

Moltiplica $v$ per $v$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.2.1

Sposta $v$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 x (v \cdot v) + 2 x v$

Passaggio 5.1.3.2.1.2.2

Moltiplica $v$ per $v$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 x v^{2} + 2 x v$

Passaggio 5.1.3.2.1.3

Sposta $x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v^{2} x + 2 x v$

Passaggio 5.1.3.2.1.4

Sposta $x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v^{2} x + 2 v x$

Passaggio 5.2

Scomponi $2 v x$ da $2 v^{2} x + 2 v x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $2 v x$ da $2 v^{2} x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v x (v) + 2 v x$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $2 v x$ da $2 v x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v x (v) + 2 v x (1)$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $2 v x$ da $2 v x (v) + 2 v x (1)$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v x (v + 1)$

Passaggio 5.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{v (v + 1)}$ .

$\frac{1}{v (v + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (v + 1)} (2 v x (v + 1))$

Passaggio 5.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{v (v + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 \frac{1}{v (v + 1)} (v x (v + 1))$

Passaggio 5.4.2

$2$ e $\frac{1}{v (v + 1)}$ .

$\frac{1}{v (v + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v (v + 1)} (v x (v + 1))$

Passaggio 5.4.3

Elimina il fattore comune di $v (v + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Scomponi $v (v + 1)$ da $v x (v + 1)$ .

$\frac{1}{v (v + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v (v + 1)} (v (v + 1) (x))$

Passaggio 5.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{v (v + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v (v + 1)} (v (v + 1) x)$

Passaggio 5.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{v (v + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 x$

Passaggio 5.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{v (v + 1)} d v = 2 x d x$

Passaggio 6

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{v (v + 1)} d v = \int 2 x d x$

Passaggio 6.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $v (v + 1)$ .

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $v + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.5.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.1.5.1.2

Dividi $A (v + 1)$ per $1$ .

$1 = A (v + 1) + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A (v) + A \cdot 1 + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.1.5.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.1.5.4

Elimina il fattore comune di $v + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.1.5.4.2

Dividi $B v$ per $1$ .

$1 = A v + A + B v$

Passaggio 6.2.1.1.6

Sposta $A$ .

$1 = A v + B v + A$

Passaggio 6.2.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $v$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 6.2.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $v$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A$

Passaggio 6.2.1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Passaggio 6.2.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Riscrivi l'equazione come $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Passaggio 6.2.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B$ con $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Passaggio 6.2.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Passaggio 6.2.1.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = 1 + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Passaggio 6.2.1.3.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Passaggio 6.2.1.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - 1 A = 1$

Passaggio 6.2.1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - 1, A = 1$

Passaggio 6.2.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{1}{v} + \frac{- 1}{v + 1}$

Passaggio 6.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{v} - \frac{1}{v + 1} d v = \int 2 x d x$

Passaggio 6.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{1}{v + 1} d v = \int 2 x d x$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di $\frac{1}{v}$ rispetto a $v$ è $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} + \int - \frac{1}{v + 1} d v = \int 2 x d x$

Passaggio 6.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $v$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{1}{v + 1} d v = \int 2 x d x$

Passaggio 6.2.5

Sia $u_{2} = v + 1$ . Allora $d u_{2} = d v$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Sia $u_{2} = v + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1.1

Differenzia $v + 1$ .

$\frac{d}{d v} [v + 1]$

Passaggio 6.2.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $v + 1$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

Passaggio 6.2.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [1]$

Passaggio 6.2.5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $1$ rispetto a $v$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.2.5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2.5.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int 2 x d x$

Passaggio 6.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int 2 x d x$

Passaggio 6.2.7

Semplifica.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int 2 x d x$

Passaggio 6.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = 2 \int x d x$

Passaggio 6.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Passaggio 6.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ come $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 6.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 6.3.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

Passaggio 6.3.3.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

Passaggio 6.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = x^{2} + C$

Passaggio 7

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = x^{2} + C$

Passaggio 7.2

Per risolvere per $v$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{x^{2} + C}$

Passaggio 7.3

Riscrivi $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = x^{2} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Passaggio 7.4

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{x^{2} + C}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{x^{2} + C}$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica ogni lato per $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{x^{2} + C} | u_{2} |$

Passaggio 7.4.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.3.1

Elimina il fattore comune di $| u_{2} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{x^{2} + C} | u_{2} |$

Passaggio 7.4.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| v | = e^{x^{2} + C} | u_{2} |$

Passaggio 7.4.4

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.4.1

Riordina i fattori in $e^{x^{2} + C} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{x^{2} + C}$

Passaggio 7.4.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{x^{2} + C}$

Passaggio 8

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi $e^{x^{2} + C}$ come $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{x^{2}} e^{C})$

Passaggio 8.2

Riordina $e^{x^{2}}$ e $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{x^{2}})$

Passaggio 8.3

Combina costanti con il più o il meno.

$v = C | u_{2} | e^{x^{2}}$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $e^{x^{2} + y}$ .

$e^{x^{2} + y} = C | u_{2} | e^{x^{2}}$

Passaggio 10

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x^{2} + y}) = \ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$

Passaggio 10.2

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Espandi $\ln (e^{x^{2} + y})$ spostando $x^{2} + y$ fuori dal logaritmo.

$(x^{2} + y) \ln (e) = \ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$

Passaggio 10.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(x^{2} + y) \cdot 1 = \ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $x^{2} + y$ per $1$ .

$x^{2} + y = \ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$

Passaggio 10.3

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Riscrivi $\ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$ come $\ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x^{2}})$ .

$x^{2} + y = \ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Passaggio 10.3.2

Riscrivi $\ln (C | u_{2} |)$ come $\ln (C) + \ln (| u_{2} |)$ .

$x^{2} + y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Passaggio 10.3.3

Espandi $\ln (e^{x^{2}})$ spostando $x^{2}$ fuori dal logaritmo.

$x^{2} + y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x^{2} \ln (e)$

Passaggio 10.3.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x^{2} + y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x^{2} \cdot 1$

Passaggio 10.3.5

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x^{2}$

Passaggio 10.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x^{2} + y = \ln (C | u_{2} |) + x^{2}$

Passaggio 10.5

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \ln (C | u_{2} |) + x^{2} - x^{2}$

Passaggio 10.5.2

Combina i termini opposti in $\ln (C | u_{2} |) + x^{2} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$y = \ln (C | u_{2} |) + 0$

Passaggio 10.5.2.2

Somma $\ln (C | u_{2} |)$ e $0$ .

$y = \ln (C | u_{2} |)$