Calcolo Esempi

$4 x y d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $4 x y d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(x^{2} + 1) d y = - 4 x y d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} d y = - 4 \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Passaggio 3.3

$- 4$ e $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $y$ da $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{y (x^{2} + 1)} (x y) d x$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Passaggio 3.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Passaggio 3.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{x^{2} + 1} x d x$

Passaggio 3.5

$\frac{- 4}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.3.4

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 4.3.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3.4.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 4.3.4.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 4.3.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 4.3.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 4.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

$\frac{1}{2}$ e $- 4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.2.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.7.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.9

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |) = C$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica $\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Semplifica $2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| y |) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) = C$

Passaggio 5.2.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (| y |) + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) = C$

Passaggio 5.2.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = C$

Passaggio 5.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y | {(x^{2} + 1)}^{2})} = e^{C}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $\ln (| y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y | {(x^{2} + 1)}^{2}$

Passaggio 5.5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$ .

$| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$

Passaggio 5.5.2

Dividi per ${(x^{2} + 1)}^{2}$ ciascun termine in $| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Dividi per ${(x^{2} + 1)}^{2}$ ciascun termine in $| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$ .

$\frac{| y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.5.2.2.1.2

Dividi $| y |$ per $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.5.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 6.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \frac{C}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$