Calcolo Esempi

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) y = 1$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine in $\cos (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) y = 1$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 1.3

Scomponi $y$ da $\frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 1.4

Riordina $y$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$e^{\int \tan (x) d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sec (x) |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\ln (\sec (x))}$

Passaggio 2.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\sec (x)$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 3.2.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 3.2.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ per $\frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 3.2.5.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 3.2.5.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 3.2.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{{\cos (x)}^{1 + 1}} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 3.2.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

Passaggio 3.4.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Passaggio 3.4.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Passaggio 3.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Frazioni separate.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.5.2

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.5.3

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.5.4

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.5.5

Frazioni separate.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.5.6

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.5.7

Frazioni separate.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.5.8

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.5.9

Dividi $y$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.6

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ come ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Passaggio 3.8

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$

Passaggio 3.9

Riordina i fattori in $\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = \sec^{2} (x)$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\sec (x) y = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 7

Poiché la derivata di $\tan (x)$ è $\sec^{2} (x)$ , l'integrale di $\sec^{2} (x)$ è $\tan (x)$ .

$\sec (x) y = \tan (x) + C$

Passaggio 8

Dividi per $\sec (x)$ ciascun termine in $\sec (x) y = \tan (x) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $\sec (x)$ ciascun termine in $\sec (x) y = \tan (x) + C$ .

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $\sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$y = \frac{\tan (x)}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

Passaggio 8.3.1.2

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$y = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

Passaggio 8.3.1.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Passaggio 8.3.1.4

Scrivi $\cos (x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

Passaggio 8.3.1.5

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

Passaggio 8.3.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \sin (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Passaggio 8.3.1.6

Frazioni separate.

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Passaggio 8.3.1.7

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Passaggio 8.3.1.8

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))$

Passaggio 8.3.1.9

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cos (x)$

Passaggio 8.3.1.10

Dividi $C$ per $1$ .

$y = \sin (x) + C \cos (x)$