Calcolo Esempi

$e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1) d x + 3 y^{2} (x e^{x} - 6) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)]$

Passaggio 1.2

Poiché $e^{x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ rispetto a $y$ è $e^{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + x y^{3} + 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + x y^{3} + 1]$

Passaggio 1.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} + x y^{3} + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

Passaggio 1.5

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x y^{3}$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

Passaggio 1.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1])$

Passaggio 1.7

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 \cdot x y^{2} + \frac{d}{d y} [1])$

Passaggio 1.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 x y^{2} + 0)$

Passaggio 1.9

Somma $3 y^{2} + 3 x y^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 x y^{2})$

Passaggio 1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2}) + e^{x} (3 x y^{2})$

Passaggio 1.10.2

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} y^{2} + e^{x} (3 x y^{2})$

Passaggio 1.10.3

Riordina i termini.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} (x e^{x} - 6)]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ rispetto a $x$ è $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x e^{x} - 6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x e^{x} - 6]$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x e^{x} - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 2.5.3

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} + 0)$

Passaggio 2.5.4

Somma $x e^{x} + e^{x}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x})$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x}) + 3 y^{2} e^{x}$

Passaggio 2.6.2

Riordina i termini.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} (x e^{x} - 6) d y$

Passaggio 5

Integra $N (x, y) = 3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $3 (x e^{x} - 6)$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3 (x e^{x} - 6)$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 3 (x e^{x} - 6) \int y^{2} d y$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (x e^{x} - 6) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Passaggio 5.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi $3 (x e^{x} - 6) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ come $(3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$ .

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$

Passaggio 5.3.2

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3} + C$

Passaggio 5.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Riordina i termini.

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$

Passaggio 5.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

$y^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Passaggio 8.3.2

Poiché $\frac{y^{3}}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $(3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [3 x e^{x} - 18]$ .

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [3 x e^{x} - 18] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Passaggio 8.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x e^{x} - 18$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{y^{3}}{3} (\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Passaggio 8.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x e^{x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Passaggio 8.3.5

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Passaggio 8.3.6

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Passaggio 8.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Passaggio 8.3.8

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Passaggio 8.3.9

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x}) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Passaggio 8.3.10

Somma $3 (x e^{x} + e^{x})$ e $0$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Passaggio 8.3.11

$3$ e $\frac{y^{3}}{3}$ .

$\frac{3 y^{3}}{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Passaggio 8.3.12

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.12.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y^{3}}{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Passaggio 8.3.12.2

Dividi $y^{3}$ per $1$ .

$y^{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Passaggio 8.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} (x e^{x}) + y^{3} e^{x} + \frac{d g}{d x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Passaggio 8.5.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} y^{3} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Passaggio 9.1.2

Semplifica $e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x} \cdot 1$

Passaggio 9.1.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.2.1

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x}$

Passaggio 9.1.2.2.2

Riordina i fattori in $e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x}$

Passaggio 9.1.3

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Sottrai $y^{3} x e^{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x}$

Passaggio 9.1.3.2

Sottrai $y^{3} e^{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x} - y^{3} e^{x}$

Passaggio 9.1.3.3

Combina i termini opposti in $y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x} - y^{3} e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.3.1

Riordina i fattori nei termini di $x y^{3} e^{x}$ e $- y^{3} x e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} - e^{x} y^{3} x - y^{3} e^{x}$

Passaggio 9.1.3.3.2

Sottrai $e^{x} y^{3} x$ da $e^{x} y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + 0 + e^{x} - y^{3} e^{x}$

Passaggio 9.1.3.3.3

Somma $y^{3} e^{x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} e^{x}$

Passaggio 9.1.3.3.4

Sottrai $y^{3} e^{x}$ da $y^{3} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + e^{x}$

Passaggio 9.1.3.3.5

Somma $0$ e $e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $e^{x}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int e^{x} d x$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int e^{x} d x$

Passaggio 10.3

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$g (x) = e^{x} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + e^{x} + C$

Passaggio 12

Semplifica $f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + e^{x} + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = (3 x e^{x} \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Passaggio 12.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 x e^{x}$ .

$f (x, y) = (3 (x e^{x}) \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Passaggio 12.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = (3 (x e^{x}) \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Passaggio 12.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = (x e^{x} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Passaggio 12.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Scomponi $3$ da $- 18$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + 3 (- 6) \frac{1}{3}) y^{3} + e^{x} + C$

Passaggio 12.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = (x e^{x} + 3 \cdot - 6 \frac{1}{3}) y^{3} + e^{x} + C$

Passaggio 12.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = (x e^{x} - 6) y^{3} + e^{x} + C$

Passaggio 12.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = x e^{x} y^{3} - 6 y^{3} + e^{x} + C$

Passaggio 12.2

Riordina i fattori in $f (x, y) = x e^{x} y^{3} - 6 y^{3} + e^{x} + C$ .

$f (x, y) = x y^{3} e^{x} - 6 y^{3} + e^{x} + C$