Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{3 y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{3 y}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $y$ da $3 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{y \cdot 3}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{y \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{3}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y d y = \frac{\sqrt{x}}{3} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{\sqrt{x}}{3} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{3} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \int \sqrt{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ come $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.4.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{9} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{2}{9} x^{\frac{3}{2}} + K$