Calcolo Esempi

$2 x (y d) y = (x^{2} - y^{2}) d x$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $(x^{2} - y^{2}) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y d y - (x^{2} - y^{2}) d x = 0$

Passaggio 1.2

Riscrivi.

$- (x^{2} - y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = - (x^{2} - y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} - y^{2})]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- (x^{2} - y^{2})$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Passaggio 2.4

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.7

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y]$

Passaggio 3.2

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 y = 2 y$

Passaggio 4.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$2 y = 2 y$ è un'identità.

Passaggio 5

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x^{2} - y^{2}) d x$

Passaggio 6

Integra $M (x, y) = - (x^{2} - y^{2})$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = - \int x^{2} - y^{2} d x$

Passaggio 6.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = - (\int x^{2} d x + \int - y^{2} d x)$

Passaggio 6.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - y^{2} d x)$

Passaggio 6.4

Applica la regola costante.

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} + C - y^{2} x + C)$

Passaggio 6.5

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{3}}{3} + C - y^{2} x + C)$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + C$

Passaggio 7

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + g (y)$

Passaggio 8

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y$

Passaggio 9

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + g (y)] = 2 x y$

Passaggio 9.2

Differenzia usando la regola della somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x) + g (y)] = 2 x y$

Passaggio 9.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x) + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Passaggio 9.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x]$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Passaggio 9.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$ .

$- (\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Passaggio 9.3.3

Poiché $\frac{x^{3}}{3}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{x^{3}}{3}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$- (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Passaggio 9.3.4

Poiché $- x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y^{2} x$ rispetto a $y$ è $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- (0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Passaggio 9.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (0 - x (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Passaggio 9.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- (0 - 2 x y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Passaggio 9.3.7

Sottrai $2 x y$ da $0$ .

$- (- 2 x y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Passaggio 9.3.8

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Passaggio 9.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x y + \frac{d g}{d y} = 2 x y$

Passaggio 9.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = 2 x y$

Passaggio 10

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - 2 x y$

Passaggio 10.1.2

Sottrai $2 x y$ da $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Passaggio 11

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Passaggio 11.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Passaggio 11.3

L'integrale di $0$ rispetto a $y$ è $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Passaggio 11.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Passaggio 12

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + C$

Passaggio 13

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x) + C$

Passaggio 13.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3} - (- y^{2} x) + C$

Passaggio 13.3

Moltiplica $- (- y^{2} x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3} + 1 (y^{2} x) + C$

Passaggio 13.3.2

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3} + y^{2} x + C$