Calcolo Esempi

$x (y^{2} - 1) d y + y (x^{2} - 1) d x = 0$

Passaggio 1

Sottrai $y (x^{2} - 1) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x (y^{2} - 1) d y = - y (x^{2} - 1) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x y} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} (y^{2} - 1) d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $y^{2} - 1$ .

$\frac{y^{2} - 1}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y (x^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = - \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 3.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x y}$ nel numeratore.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{- 1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (x^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.5.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (x^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} - 1) d x$

Passaggio 3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = - \frac{1}{x} (x^{2} - 1) d x$

Passaggio 3.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

Passaggio 3.8

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x}$ nel numeratore.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

Passaggio 3.8.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

Passaggio 3.8.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

Passaggio 3.8.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (- x - \frac{1}{x} \cdot - 1) d x$

Passaggio 3.9

Moltiplica $- \frac{1}{x} \cdot - 1$ .

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Passaggio 3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (- x + 1 \frac{1}{x}) d x$

Passaggio 3.9.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = (- x + \frac{1}{x}) d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{y (y - 1) + 1 (y - 1)}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1)}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.4

Riordina $y$ e $- 1$ .

$\int \frac{y \cdot y - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.5

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{y^{1} y - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.6

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{y^{1} y^{1} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{y^{1 + 1} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.2.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$\int \frac{y^{2} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.8.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\int \frac{y^{2} - 1 y + y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.8.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\int \frac{y^{2} - 1 y + y - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.9

Somma $- 1 y$ e $y$ .

$\int \frac{y^{2} + 0 - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.10

Sottrai $1$ da $0$ .

$\int \frac{y^{2} - 1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.11

Dividi $y^{2} - 1$ per $y$ .

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Passaggio 4.2.11.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

Passaggio 4.2.11.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$

Passaggio 4.2.11.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

Passaggio 4.2.11.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y^{2} + 0$

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

Passaggio 4.2.11.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
						$0$

Passaggio 4.2.11.6

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$1$

Passaggio 4.2.11.7

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int y - \frac{1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.12

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y d y + \int - \frac{1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.13

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - \frac{1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.14

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - \int \frac{1}{y} d y = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.15

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (\ln (| y |) + C_{2}) = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.16

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \ln (| x |) + C_{5}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

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Passaggio 4.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + \ln (| x |) + C_{5}$

Passaggio 4.3.5.2

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$