Calcolo Esempi

$\frac{d x}{d y} = \frac{(1 + 2 y^{2})}{y \sin (x)}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{\sin (x)})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x))$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Riordina $\sin (x)$ e $\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x)$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x) \sin (x)$

Passaggio 1.3.2.2

Aggiungi le parentesi.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\csc (x) \sin (x))$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi $\sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x))$ in termini di seno e coseno.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\frac{1}{\sin (x)} \sin (x))$

Passaggio 1.3.2.4

Elimina i fattori comuni.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $\frac{1 + 2 y^{2}}{y}$ per $1$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\sin (x) d x = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \sin (x) d x = \int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} + \frac{2 y^{2}}{y} d y$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y^{2}}{y} d y$

Passaggio 2.3.3

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Scomponi $y$ da $2 y^{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y} d y$

Passaggio 2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y^{1}} d y$

Passaggio 2.3.3.2.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y$

Passaggio 2.3.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y$

Passaggio 2.3.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y}{1} d y$

Passaggio 2.3.3.2.5

Dividi $2 y$ per $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int 2 y d y$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + \int 2 y d y$

Passaggio 2.3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + 2 \int y d y$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{3})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Semplifica.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.7.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.7.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + 1 y^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.7.2.3

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + y^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.8

Riordina i termini.

$- \cos (x) + C_{1} = y^{2} + \ln (| y |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$ e semplifica.

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Passaggio 3.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$\cos (x) = - 1 \cdot y^{2} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot y^{2}$ come $- y^{2}$ .

$\cos (x) = - y^{2} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (| y |)}{- 1}$ .

$\cos (x) = - y^{2} - 1 \cdot \ln (| y |) + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (| y |)$ come $- \ln (| y |)$ .

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.5

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) - 1 \cdot C$

Passaggio 3.1.3.1.6

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) - C$

Passaggio 3.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- y^{2} - \ln (| y |) - C)$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$x = \arccos (- y^{2} - \ln (| y |) + C)$