Calcolo Esempi

$\cot (x) \frac{d y}{d x} - 2 y = 5$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $\cot (x)$ ciascun termine in $\cot (x) \frac{d y}{d x} - 2 y = 5$ .

$\frac{\cot (x) \frac{d y}{d x}}{\cot (x)} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $\cot (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cot (x) \frac{d y}{d x}}{\cot (x)} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Passaggio 1.3

Scomponi $y$ da $\frac{- 2 y}{\cot (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Passaggio 1.4

Riordina $y$ e $\frac{- 2}{\cot (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{\cot (x)} y = \frac{5}{\cot (x)}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{- 2}{\cot (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{- 2}{\cot (x)} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{- 2}{\cot (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{\int - \frac{2}{\cot (x)} d x}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{2}{\cot (x)} d x}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{- (2 \int \frac{1}{\cot (x)} d x)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$e^{- (2 \int \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} d x)}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{- (2 \int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x)}$

Passaggio 2.2.4.3

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$e^{- (2 \int \tan (x) d x)}$

Passaggio 2.2.4.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- 2 \int \tan (x) d x}$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$e^{- 2 \ln (| \sec (x) |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 2 \ln (\sec (x))}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (\sec^{- 2} (x))}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\sec^{- 2} (x)$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 2.7

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 2.8

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$ come ${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$

Passaggio 2.9

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}})}^{2}$

Passaggio 2.10

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

${(1 \cos (x))}^{2}$

Passaggio 2.11

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos^{2} (x)$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\cos^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{\cot (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Frazioni separate.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\cot (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Passaggio 3.2.4

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Passaggio 3.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Riscrivi l'espressione.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Passaggio 3.2.5.2

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ per $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Passaggio 3.2.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{1} \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Passaggio 3.2.7

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\frac{- 2}{1} \cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (\frac{- 2}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Passaggio 3.2.7.2

Elimina il fattore comune.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (\frac{- 2}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Passaggio 3.2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{1} \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Passaggio 3.2.8

$\frac{- 2}{1}$ e $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2 \cos (x)}{1} \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Passaggio 3.2.9

$\frac{- 2 \cos (x)}{1}$ e $\sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{1} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Passaggio 3.2.10

Dividi $- 2 \cos (x) \sin (x)$ per $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Passaggio 3.3

Frazioni separate.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cot (x)})$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}})$

Passaggio 3.5

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Passaggio 3.6

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Passaggio 3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Riscrivi l'espressione.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ per $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Passaggio 3.8

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5}{1} \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 3.9

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\frac{5}{1} \cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos (x) (\frac{5}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 3.9.2

Elimina il fattore comune.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos (x) (\frac{5}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 3.9.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5}{1} \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 3.10

$\frac{5}{1}$ e $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5 \cos (x)}{1} \sin (x)$

Passaggio 3.11

$\frac{5 \cos (x)}{1}$ e $\sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5 \cos (x) \sin (x)}{1}$

Passaggio 3.12

Dividi $5 \cos (x) \sin (x)$ per $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = 5 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 3.13

Riordina i fattori in $\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = 5 \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 y \cos (x) \sin (x) = 5 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) y] = 5 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) y] d x = \int 5 \cos (x) \sin (x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\cos^{2} (x) y = \int 5 \cos (x) \sin (x) d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$\cos^{2} (x) y = 5 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Passaggio 7.2

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 7.2.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\cos^{2} (x) y = 5 \int - u d u$

Passaggio 7.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\cos^{2} (x) y = 5 (- \int u d u)$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 \int u d u$

Passaggio 7.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Passaggio 7.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Riscrivi $- 5 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ come $- 5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Passaggio 7.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.2.1

$- 5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) y = \frac{- 5}{2} u^{2} + C$

Passaggio 7.6.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} u^{2} + C$

Passaggio 7.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$

Passaggio 8

Dividi per $\cos^{2} (x)$ ciascun termine in $\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $\cos^{2} (x)$ ciascun termine in $\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$ .

$\frac{\cos^{2} (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos^{2} (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Dividi $- \frac{5}{2}$ per $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8.3.1.2

Moltiplica per $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

Passaggio 8.3.1.3

Frazioni separate.

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8.3.1.4

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{1} \sec^{2} (x)$

Passaggio 8.3.1.5

Dividi $C$ per $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + C \sec^{2} (x)$