Calcolo Esempi

$(2 x^{3} y) d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 2 x^{3} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} y]$

Passaggio 1.2

Poiché $2 x^{3}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x^{3} y$ rispetto a $y$ è $2 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3} \cdot 1$

Passaggio 1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3}$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x^{4} + y^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{4}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + y^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Passaggio 2.4

Poiché $y^{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{4}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + 0$

Passaggio 2.5

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3}$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 x^{3}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $4 x^{3}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 x^{3} = 4 x^{3}$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 x^{3} = 4 x^{3}$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $4 x^{3}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{4 x^{3} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $2 x^{3}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{4 x^{3} - (2 x^{3})}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $2 x^{3} y$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $2 x^{3} y$ a $M$ .

$\frac{4 x^{3} - (2 x^{3})}{2 x^{3} y}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $x^{3}$ da $4 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Scomponi $x^{3}$ da $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4 - 1 \cdot 2 x^{3}}{2 x^{3} y}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Scomponi $x^{3}$ da $- 1 \cdot 2 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4 + x^{3} (- 1 \cdot 2)}{2 x^{3} y}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} \cdot 4 + x^{3} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x^{3} (4 - 1 \cdot 2)}{2 x^{3} y}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x^{3} (4 - 2)}{2 x^{3} y}$

Passaggio 4.3.2.3

Sottrai $2$ da $4$ .

$\frac{x^{3} \cdot 2}{2 x^{3} y}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{3} \cdot 2}{2 x^{3} y}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{2 y}$

Passaggio 4.3.4

Sostituisci $2 x^{3} y$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2 y}$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Passaggio 5.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Passaggio 5.2.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = | y | + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $2 x^{3} y d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$ per il fattore di integrazione $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $2 x^{3} y$ per $y$ .

$2 x^{3} y \cdot y d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sposta $y$ .

$2 x^{3} (y \cdot y) d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $x^{4} + y^{4}$ per $y$ .

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} + y^{4}) y d y = 0$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} y + y^{4} y) d y = 0$

Passaggio 6.5

Moltiplica $y^{4}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Moltiplica $y^{4}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} y + y^{4} y^{1}) d y = 0$

Passaggio 6.5.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} y + y^{4 + 1}) d y = 0$

Passaggio 6.5.2

Somma $4$ e $1$ .

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} y + y^{5}) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{3} y^{2} d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = 2 x^{3} y^{2}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $2 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2 y^{2}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 2 y^{2} \int x^{3} d x$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Passaggio 8.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riscrivi $2 y^{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ come $2 y^{2} \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} \frac{1}{4} x^{4} + C$

Passaggio 8.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = y^{2} \frac{2}{4} x^{4} + C$

Passaggio 8.3.2.2

$y^{2}$ e $\frac{2}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} \cdot 2}{4} x^{4} + C$

Passaggio 8.3.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{2}}{4} x^{4} + C$

Passaggio 8.3.2.4

Moltiplica $2$ per $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2}}{4} x^{4} + C$

Passaggio 8.3.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.5.1

Scomponi $2$ da $2 y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 (y^{2})}{4} x^{4} + C$

Passaggio 8.3.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2}}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Passaggio 8.3.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{2 y^{2}}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Passaggio 8.3.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{4} + C$

Passaggio 8.3.2.6

$\frac{y^{2}}{2}$ e $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{4}}{2} + C$

Passaggio 8.3.3

Riordina i termini.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{4} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{4} + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{4} y + y^{5}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{4} + g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} y^{2} x^{4} + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Passaggio 11.3.2

$\frac{y^{2}}{2}$ e $x^{4}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{4}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Passaggio 11.3.3

Poiché $\frac{x^{4}}{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{y^{2} x^{4}}{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{x^{4}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{4}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Passaggio 11.3.5

$2$ e $\frac{x^{4}}{2}$ .

$\frac{2 x^{4}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Passaggio 11.3.6

$\frac{2 x^{4}}{2}$ e $y$ .

$\frac{2 x^{4} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Passaggio 11.3.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{4} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Passaggio 11.3.7.2

Dividi $x^{4} y$ per $1$ .

$x^{4} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{4} y + \frac{d g}{d y} = x^{4} y + y^{5}$

Passaggio 11.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + x^{4} y = x^{4} y + y^{5}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sottrai $x^{4} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = x^{4} y + y^{5} - x^{4} y$

Passaggio 12.1.2

Combina i termini opposti in $x^{4} y + y^{5} - x^{4} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Sottrai $x^{4} y$ da $x^{4} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{5} + 0$

Passaggio 12.1.2.2

Somma $y^{5}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{5}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $y^{5}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = y^{5}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{5} d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{5} d y$

Passaggio 13.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{5}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$g (y) = \frac{1}{6} y^{6} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{4} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{4} + \frac{1}{6} y^{6} + C$

Passaggio 15

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{4} + \frac{1}{6} y^{6} + C$

Passaggio 15.2

$\frac{y^{2}}{2}$ e $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{4}}{2} + \frac{1}{6} y^{6} + C$

Passaggio 15.3

$\frac{1}{6}$ e $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{4}}{2} + \frac{y^{6}}{6} + C$