Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sqrt{1 - y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y}} \sqrt{1 - y}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $\sqrt{1 - y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y}} \sqrt{1 - y}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} d y = 1 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - y}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 1 - y$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 1 - y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.4

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.4.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.4.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Riscrivi $- (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ come $- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - y$ .

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = x + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = x + K$ .

$\frac{- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi ${(1 - y)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \frac{x}{2} + \frac{K}{- 2}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \frac{x}{2} - \frac{K}{2}$

Passaggio 3.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Semplifica ${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(1 - y)}^{1} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Semplifica.

$1 - y = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Riscrivi ${(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$ come $(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$ .

$1 - y = (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.2

Espandi $(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 - y = - \frac{x}{2} (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 - y = - \frac{x}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 - y = - \frac{x}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.1

Moltiplica $- \frac{x}{2} (- \frac{x}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 - y = 1 \frac{x}{2} \frac{x}{2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.1.2

Moltiplica $\frac{x}{2}$ per $1$ .

$1 - y = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.1.3

Moltiplica $\frac{x}{2}$ per $\frac{x}{2}$ .

$1 - y = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$1 - y = \frac{x^{1} x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$1 - y = \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 - y = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.1.7

Somma $1$ e $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.1.8

Moltiplica $2$ per $2$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2

Moltiplica $- \frac{x}{2} (- \frac{K}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 1 \frac{x}{2} \frac{K}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $\frac{x}{2}$ per $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2.3

Moltiplica $\frac{x}{2}$ per $\frac{K}{2}$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{2 \cdot 2} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.3

Moltiplica $- \frac{K}{2} (- \frac{x}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + 1 \frac{K}{2} \frac{x}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.3.2

Moltiplica $\frac{K}{2}$ per $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.3.3

Moltiplica $\frac{K}{2}$ per $\frac{x}{2}$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{2 \cdot 2} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.3.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4

Moltiplica $- \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + 1 \frac{K}{2} \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4.2

Moltiplica $\frac{K}{2}$ per $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4.3

Moltiplica $\frac{K}{2}$ per $\frac{K}{2}$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4.4

Eleva $K$ alla potenza di $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4.5

Eleva $K$ alla potenza di $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4.7

Somma $1$ e $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4.8

Moltiplica $2$ per $2$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.3.2

Somma $\frac{x K}{4}$ e $\frac{K x}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.2.1

Riordina $x$ e $K$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.3.2.2

Somma $\frac{K x}{4}$ e $\frac{K x}{4}$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{2 (2)} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{2 \cdot 2} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4} - 1$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4} - 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot \frac{x^{2}}{4}$ come $- \frac{x^{2}}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\frac{K x}{2}}{- 1}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot \frac{K x}{2} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot \frac{K x}{2}$ come $- \frac{K x}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.3.1.5

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} - 1 \cdot \frac{K^{2}}{4} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.3.1.6

Riscrivi $- 1 \cdot \frac{K^{2}}{4}$ come $- \frac{K^{2}}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} - \frac{K^{2}}{4} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.3.1.7

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} - \frac{K^{2}}{4} + 1$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} + K$