Calcolo Esempi

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Riordina i termini.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$

Passaggio 1.2

Dividi per $x^{2} + 1$ ciascun termine in $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

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Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.3.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.4

Scomponi $y$ da $\frac{y}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.5

Riordina $y$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2} + 1} y = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

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Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.1.1

Riordina $x^{2}$ e $1$ .

$e^{\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$e^{\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x) + C$ .

$e^{\arctan (x) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\arctan (x)}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{\arctan (x)}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{\arctan (x)}$ .

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + e^{\arctan (x)} (\frac{1}{x^{2} + 1} y) = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ e $y$ .

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + e^{\arctan (x)} \frac{y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.2.2

$e^{\arctan (x)}$ e $\frac{y}{x^{2} + 1}$ .

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.3

Per scrivere $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $e^{\arctan (x)}$ da $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + e^{\arctan (x)} y$ .

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Passaggio 3.5.1.1

Scomponi $e^{\arctan (x)}$ da $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.5.1.2

Scomponi $e^{\arctan (x)}$ da $e^{\arctan (x)} y$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} (y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.5.1.3

Scomponi $e^{\arctan (x)}$ da $e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} (y)$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.6

$e^{\arctan (x)}$ e $\frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.7

Riordina i fattori in $\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{\arctan (x)} y] = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\arctan (x)} y] d x = \int \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{\arctan (x)} y = \int \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Sia $u = \arctan (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$ , quindi $(x^{2} + 1) d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.1.1

Sia $u = \arctan (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1.1

Differenzia $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Passaggio 7.1.1.2

La derivata di $\arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 7.1.1.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 7.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{\arctan (x)} y = \int e^{u} u d u$

Passaggio 7.2

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = u$ e $dv = e^{u}$ .

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - \int e^{u} d u$

Passaggio 7.3

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - (e^{u} + C)$

Passaggio 7.4

Semplifica.

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - e^{u} + C$

Passaggio 7.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\arctan (x)$ .

$e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{\arctan (x)}$ ciascun termine in $e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $e^{\arctan (x)}$ ciascun termine in $e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} y}{e^{\arctan (x)}} = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{\arctan (x)}$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{\arctan (x)} y}{e^{\arctan (x)}} = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{\arctan (x)}$ .

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Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Dividi $\arctan (x)$ per $1$ .

$y = \arctan (x) + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Passaggio 8.3.1.2

Elimina il fattore comune di $e^{\arctan (x)}$ .

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Passaggio 8.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = \arctan (x) + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$y = \arctan (x) - 1 + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$