Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $y$ da $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Riordina $y$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{2}{x}$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{2})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{2}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

$\frac{2}{x}$ e $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 1$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = 1$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$x^{2} y = \int d x$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$x^{2} y = x + C$

Passaggio 8

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = x + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = x + C$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

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Passaggio 8.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$y = \frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.3

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.3.1.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$y = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$