Calcolo Esempi

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x - 1$

Passaggio 1

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $x^{2} y$ .

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Passaggio 1.4

Sostituisci $\frac{d y}{d x}$ a $y'$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Passaggio 1.5

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Passaggio 1.6

Sposta $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Passaggio 2

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x - 1$

Passaggio 3

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x - 1 d x$

Passaggio 4

Integra il lato sinistro.

$x^{2} y = \int x - 1 d x$

Passaggio 5

Integra il lato destro.

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Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$x^{2} y = \int x d x + \int - 1 d x$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

Passaggio 5.3

Applica la regola costante.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

Passaggio 5.4

Semplifica.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

Passaggio 6

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ e semplifica.

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Passaggio 6.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.1.2

Dividi $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $- x$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.3.1.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{1}{2} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$