Calcolo Esempi

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 25 y = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale.

$y'' + 25 y = 0$

Passaggio 2

Trova $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A \sin (5 x) + B \cos (5 x))$

Passaggio 2.2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 2.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Passaggio 2.3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Poiché $A$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $A \sin (5 x)$ rispetto a $x$ è $A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $5 x$ .

$A (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Passaggio 2.3.2.2.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$A (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Passaggio 2.3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $5 x$ .

$A (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Passaggio 2.3.2.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$A (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Passaggio 2.3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$A (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Passaggio 2.3.2.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$A (\cos (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Passaggio 2.3.2.6

Sposta $5$ alla sinistra di $\cos (5 x)$ .

$A (5 \cdot \cos (5 x)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Passaggio 2.3.2.7

Sposta $5$ alla sinistra di $A$ .

$5 A \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Passaggio 2.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Poiché $B$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $B \cos (5 x)$ rispetto a $x$ è $B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$5 A \cos (5 x) + B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $5 x$ .

$5 A \cos (5 x) + B (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 2.3.3.2.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 2.3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 x$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 2.3.3.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))$

Passaggio 2.3.3.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \cdot 5)$

Passaggio 2.3.3.6

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- 5 \sin (5 x))$

Passaggio 2.3.4

Riordina i termini.

$5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

Passaggio 2.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

Passaggio 3

Trova $y''$ .

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Passaggio 3.1

Imposta la derivata.

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ .

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $5 A$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 A \cos (5 x)$ rispetto a $x$ è $5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$y'' = 5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $5 x$ .

$y'' = 5 A (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Passaggio 3.3.2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$y'' = 5 A (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $5 x$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Passaggio 3.3.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$y'' = 5 A (- 5 \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $- 5$ per $5$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $- 5 B$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 B \sin (5 x)$ rispetto a $x$ è $- 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $5 x$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 3.4.2.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 3.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 x$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 3.4.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Passaggio 3.4.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \cdot 5)$

Passaggio 3.4.6

Sposta $5$ alla sinistra di $\cos (5 x)$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (5 \cos (5 x))$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $5$ per $- 5$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x)$

Passaggio 4

Sostituisci nell'equazione differenziale data.

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 (A \sin (5 x) + B \cos (5 x)) = 0$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

Passaggio 5.2

Combina i termini opposti in $- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x)$ .

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Passaggio 5.2.1

Somma $- 25 A \sin (5 x)$ e $25 A \sin (5 x)$ .

$- 25 B \cos (5 x) + 0 + 25 B \cos (5 x) = 0$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 25 B \cos (5 x)$ e $0$ .

$- 25 B \cos (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

Passaggio 5.2.3

Somma $- 25 B \cos (5 x)$ e $25 B \cos (5 x)$ .

$0 = 0$

Passaggio 6

La soluzione data soddisfa l'equazione differenziale data.

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ è una soluzione a $y'' + 25 y = 0$