Calcolo Esempi

$\frac{d x}{d y} = e^{x - y}$

Passaggio 1

Sia

$v = e^{x - y}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di

$e^{x - y}$ con

$v$ .

$\frac{d x}{d y} = v$

Passaggio 2

Trova

$\frac{d v}{d y}$ differenziando

$e^{x - y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui

$\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è

$f' (g (y)) g' (y)$ dove

$f (y) = e^{y}$ e

$g (y) = x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta

$u_{1}$ come

$x - y$ .

$\frac{d v}{d y} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [x - y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui

$\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è

$a^{u_{1}} \ln (a)$ dove

$a$ =

$e$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u_{1}$ con

$x - y$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x - y} \frac{d}{d y} [x - y]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

$x - y$ rispetto a

$y$ è

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x - y} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

Passaggio 2.3

Riscrivi

$\frac{d}{d y} [x]$ come

$x'$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x - y} (x' + \frac{d}{d y} [- y])$

Passaggio 2.4

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$y$ , la derivata di

$- y$ rispetto a

$y$ è

$- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x - y} (x' - \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è

$n y^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x - y} (x' - 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.6

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x - y} (x' - 1)$

Passaggio 3

Sostituisci

$v$ a

$e^{x - y}$ .

$\frac{d v}{d y} = v (x' - 1)$

Passaggio 4

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} + 1 = v$

Passaggio 5

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Risolvi per

$\frac{d v}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai

$1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} = v - 1$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica ogni lato per

$v$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = (v - 1) v$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Elimina il fattore comune di

$v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = (v - 1) v$

Passaggio 5.1.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d y} = (v - 1) v$

Passaggio 5.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Semplifica

$(v - 1) v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d v}{d y} = v \cdot v - 1 v$

Passaggio 5.1.3.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.2.1

Moltiplica

$v$ per

$v$ .

$\frac{d v}{d y} = v^{2} - 1 v$

Passaggio 5.1.3.2.1.2.2

Riscrivi

$- 1 v$ come

$- v$ .

$\frac{d v}{d y} = v^{2} - v$

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni lato per

$\frac{1}{v^{2} - v}$ .

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2} - v} (v^{2} - v)$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di

$v^{2} - v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2} - v} (v^{2} - v)$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d y} = 1$

Passaggio 5.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{v^{2} - v} d v = 1 d y$

Passaggio 6

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{v^{2} - v} d v = \int d y$

Passaggio 6.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Scomponi

$v$ da

$v^{2} - v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1.1

Scomponi

$v$ da

$v^{2}$ .

$\frac{1}{v \cdot v - v}$

Passaggio 6.2.1.1.1.2

Scomponi

$v$ da

$- v$ .

$\frac{1}{v \cdot v + v \cdot - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.1.3

Scomponi

$v$ da

$v \cdot v + v \cdot - 1$ .

$\frac{1}{v (v - 1)}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto

$B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è

$v (v - 1)$ .

$\frac{1 (v (v - 1))}{v (v - 1)} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di

$v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (v (v - 1))}{v (v - 1)} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (v - 1)}{v - 1} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.5

Elimina il fattore comune di

$v - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (v - 1)}{v - 1} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.6.1

Elimina il fattore comune di

$v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.6.1.2

Dividi

$A (v - 1)$ per

$1$ .

$1 = A (v - 1) + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A (v) + A \cdot - 1 + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.6.3

Sposta

$- 1$ alla sinistra di

$A$ .

$1 = A (v) - 1 \cdot A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.6.4

Riscrivi

$- 1 A$ come

$- A$ .

$1 = A (v) - A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.6.5

Elimina il fattore comune di

$v - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.6.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A (v) - A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.6.5.2

Dividi

$B v$ per

$1$ .

$1 = A v - A + B v$

Passaggio 6.2.1.1.7

Sposta

$- A$ .

$1 = A v + B v - A$

Passaggio 6.2.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di

$v$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 6.2.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono

$v$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 1 A$

Passaggio 6.2.1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

Passaggio 6.2.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Risolvi per

$A$ in

$1 = - 1 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come

$- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$0 = A + B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2

Dividi per

$- 1$ ciascun termine in

$- 1 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.2.1

Dividi per

$- 1$ ciascun termine in

$- 1 A = 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2.2

Dividi

$A$ per

$1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.2.3.1

Dividi

$1$ per

$- 1$ .

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

Passaggio 6.2.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di

$A$ con

$- 1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di

$A$ in

$0 = A + B$ con

$- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

Passaggio 6.2.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

Passaggio 6.2.1.3.3

Risolvi per

$B$ in

$0 = - 1 + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come

$- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

Passaggio 6.2.1.3.3.2

Somma

$1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

Passaggio 6.2.1.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = 1 A = - 1$

Passaggio 6.2.1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 1, A = - 1$

Passaggio 6.2.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v - 1}$ con i valori trovati per

$A$ e

$B$ .

$- \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1} d v = \int d y$

Passaggio 6.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d y$

Passaggio 6.2.3

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$v$ , sposta

$- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d y$

Passaggio 6.2.4

L'integrale di

$\frac{1}{v}$ rispetto a

$v$ è

$\ln (| v |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d y$

Passaggio 6.2.5

Sia

$u_{2} = v - 1$ . Allora

$d u_{2} = d v$ . Riscrivi usando

$u_{2}$ e

$d$

$u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Sia

$u_{2} = v - 1$ . Trova

$\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1.1

Differenzia

$v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [v - 1]$

Passaggio 6.2.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

$v - 1$ rispetto a

$v$ è

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Passaggio 6.2.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è

$n v^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Passaggio 6.2.5.1.4

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$v$ , la derivata di

$- 1$ rispetto a

$v$ è

$0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.2.5.1.5

Somma

$1$ e

$0$ .

$1$

Passaggio 6.2.5.2

Riscrivi il problema usando

$u_{2}$ e

$d u_{2}$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d y$

Passaggio 6.2.6

L'integrale di

$\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a

$u_{2}$ è

$\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \ln (| u_{2} |) + C_{2} = \int d y$

Passaggio 6.2.7

Semplifica.

$- \ln (| v |) + \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d y$

Passaggio 6.2.8

Riordina i termini.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = \int d y$

Passaggio 6.3

Applica la regola costante.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = y + C_{4}$

Passaggio 6.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come

$C$ .

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) = y + C$

Passaggio 7

Risolvi per

$v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = y + C$

Passaggio 7.2

Riordina

$y$ e

$C$ .

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + y$

Passaggio 7.3

Per risolvere per

$v$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |})} = e^{C + y}$

Passaggio 7.4

Riscrivi

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + y$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se

$x$ e

$b$ sono numeri reali positivi e

$b \neq 1$ , allora

$\log_{b} (x) = y$ è equivalente a

$b^{y} = x$ .

$e^{C + y} = \frac{| u_{2} |}{| v |}$

Passaggio 7.5

Risolvi per

$v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Riscrivi l'equazione come

$\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + y}$ .

$\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + y}$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica ogni lato per

$| v |$ .

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + y} | v |$

Passaggio 7.5.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.3.1

Elimina il fattore comune di

$| v |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + y} | v |$

Passaggio 7.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| u_{2} | = e^{C + y} | v |$

Passaggio 7.5.4

Risolvi per

$v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.4.1

Riscrivi l'equazione come

$e^{C + y} | v | = | u_{2} |$ .

$e^{C + y} | v | = | u_{2} |$

Passaggio 7.5.4.2

Dividi per

$e^{C + y}$ ciascun termine in

$e^{C + y} | v | = | u_{2} |$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.4.2.1

Dividi per

$e^{C + y}$ ciascun termine in

$e^{C + y} | v | = | u_{2} |$ .

$\frac{e^{C + y} | v |}{e^{C + y}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + y}}$

Passaggio 7.5.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$e^{C + y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{C + y} | v |}{e^{C + y}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + y}}$

Passaggio 7.5.4.2.2.1.2

Dividi

$| v |$ per

$1$ .

$| v | = \frac{| u_{2} |}{e^{C + y}}$

Passaggio 7.5.4.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un

$\pm$ sul lato destro dell'equazione perché

$| x | = \pm x$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + y}}$

Passaggio 8

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riordina i termini.

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{y + C}}$

Passaggio 8.2

Riscrivi

$e^{y + C}$ come

$e^{y} e^{C}$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{y} e^{C}}$

Passaggio 8.3

Riordina

$e^{y}$ e

$e^{C}$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{y}}$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di

$v$ con

$e^{x - y}$ .

$e^{x - y} = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{y}}$

Passaggio 10

Risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x - y}) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{y}})$

Passaggio 10.2

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Espandi

$\ln (e^{x - y})$ spostando

$x - y$ fuori dal logaritmo.

$(x - y) \ln (e) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{y}})$

Passaggio 10.2.2

Il logaritmo naturale di

$e$ è

$1$ .

$(x - y) \cdot 1 = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{y}})$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica

$x - y$ per

$1$ .

$x - y = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{y}})$

Passaggio 10.3

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x - y = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + y}})$

Passaggio 10.4

Somma

$y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + y}}) + y$

Passaggio 11

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Riordina i termini.

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{y + C}}) + y$

Passaggio 11.2

Riscrivi

$e^{y + C}$ come

$e^{y} e^{C}$ .

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{y} e^{C}}) + y$

Passaggio 11.3

Riordina

$e^{y}$ e

$e^{C}$ .

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{y}}) + y$