Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$ e $y (e) = - 2$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $e$ e $y$ con $- 2$ in $y = \ln (| x |) + C$ .

$- 2 = \ln (| e |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\ln (| e |) + C = - 2$ .

$\ln (| e |) + C = - 2$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

$e$ corrisponde approssimativamente a $2.71828182$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\ln (e) + C = - 2$

Passaggio 4.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$1 + C = - 2$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = - 2 - 1$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$C = - 3$

Passaggio 5

Sostituisci $- 3$ a $C$ in $y = \ln (| x |) + C$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 3$ a $C$ .

$y = \ln (| x |) - 3$