Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2 y}$ , $y (0) = - 3$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2 y}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y$ da $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{y \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{y \cdot 2}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y d y = \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 x + \sec (x) \tan (x) d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int 2 x d x + \int \sec (x) \tan (x) d x)$

Passaggio 2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int x d x + \int \sec (x) \tan (x) d x)$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \sec (x) \tan (x) d x)$

Passaggio 2.3.5

Poiché la derivata di $\sec (x)$ è $\sec (x) \tan (x)$ , l'integrale di $\sec (x) \tan (x)$ è $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \sec (x) + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \sec (x) + C_{3})$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \sec (x) + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sec (x) + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $\sec (x)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{\sec (x)}{2} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = x^{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = x^{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = x^{2} + \sec (x) + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$

Passaggio 5

Poiché $y$ è negativa nella condizione iniziale $(0, - 3)$ , considera solo $y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$ per calcolare $K$ . Sostituisci $0$ a $x$ e $- 3$ a $y$ .

$- 3 = - \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K}$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $- \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K} = - 3$ .

$- \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K} = - 3$

Passaggio 6.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(- \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 6.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{0^{2} + \sec (0) + K}$ come ${(0^{2} + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(0^{2} + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ${(- {(0^{2} + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

${(- {(0 + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

${(- {(0 + 1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.1

Somma $0$ e $1$ .

${(- {(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2.2

Applica la regola del prodotto a $- {(1 + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 {({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2.4

Moltiplica ${({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ per $1$ .

${({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.5.2.1

Elimina il fattore comune.

${(1 + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(1 + K)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.3

Semplifica.

$1 + K = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$1 + K = 9$

Passaggio 6.4

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 9 - 1$

Passaggio 6.4.2

Sottrai $1$ da $9$ .

$K = 8$

Passaggio 7

Sostituisci $8$ a $K$ in $y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $8$ a $K$ .

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 8}$