Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = \frac{y^{2} + 1}{t + 1}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{t + 1}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2} + 1$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{t + 1}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{t + 1}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{t + 1} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{t + 1} d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.1.1

Riordina $y^{2}$ e $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{t + 1} d t$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{t + 1} d t$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ rispetto a $y$ è $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{t + 1} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = t + 1$ . Allora $d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = t + 1$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t + 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| t + 1 |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\arctan (y) = \ln (| t + 1 |) + C$

Passaggio 3

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$y = \tan (\ln (| t + 1 |) + C)$