Calcolo Esempi

$y'''' + 2 y = 3 e^{t}$ with $y (0) = 3$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = 2$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 2 d t}$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

$e^{2 t + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 t}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{2 t}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} (3 e^{t})$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} (3 e^{t})$

Passaggio 2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{2 t} e^{t}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $e^{2 t}$ per $e^{t}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.4.1

Sposta $e^{t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 (e^{t} e^{2 t})$

Passaggio 2.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{t + 2 t}$

Passaggio 2.4.3

Somma $t$ e $2 t$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{3 t}$

Passaggio 2.5

Riordina i fattori in $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{3 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = 3 e^{3 t}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = 3 e^{3 t}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int 3 e^{3 t} d t$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{2 t} y = \int 3 e^{3 t} d t$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$e^{2 t} y = 3 \int e^{3 t} d t$

Passaggio 6.2

Sia $u = 3 t$ . Allora $d u = 3 d t$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.2.1

Sia $u = 3 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Differenzia $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Passaggio 6.2.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 6.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{2 t} y = 3 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 6.3

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{2 t} y = 3 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 6.4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$e^{2 t} y = 3 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Passaggio 6.5

Semplifica.

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Passaggio 6.5.1

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$e^{2 t} y = \frac{3}{3} \int e^{u} d u$

Passaggio 6.5.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 6.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{2 t} y = \frac{3}{3} \int e^{u} d u$

Passaggio 6.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{2 t} y = 1 \int e^{u} d u$

Passaggio 6.5.3

Moltiplica $\int e^{u} d u$ per $1$ .

$e^{2 t} y = \int e^{u} d u$

Passaggio 6.6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = e^{u} + C$

Passaggio 6.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 t$ .

$e^{2 t} y = e^{3 t} + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{2 t}$ ciascun termine in $e^{2 t} y = e^{3 t} + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $e^{2 t}$ ciascun termine in $e^{2 t} y = e^{3 t} + C$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{2 t}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Elimina il fattore comune di $e^{3 t}$ e $e^{2 t}$ .

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Passaggio 7.3.1.1

Scomponi $e^{2 t}$ da $e^{3 t}$ .

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Passaggio 7.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.3.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Passaggio 7.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{e^{t}}{1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Passaggio 7.3.1.2.4

Dividi $e^{t}$ per $1$ .

$y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Passaggio 8

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $t$ con $0$ e $y$ con $3$ in $y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$ .

$3 = e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

Passaggio 9

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 9.1

Riscrivi l'equazione come $e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$ .

$e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$

Passaggio 9.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 9.2.2.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Passaggio 9.2.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1 + \frac{C}{1} = 3$

Passaggio 9.2.3

Dividi $C$ per $1$ .

$1 + C = 3$

Passaggio 9.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 3 - 1$

Passaggio 9.3.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$C = 2$

Passaggio 10

Sostituisci $2$ a $C$ in $y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$ e semplifica.

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Passaggio 10.1

Sostituisci $2$ a $C$ .

$y = e^{t} + \frac{2}{e^{2 t}}$