Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 2 \sin (3 x + 4)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = 2 \sin (3 x + 4) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 2 \sin (3 x + 4) d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 2 \sin (3 x + 4) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 2 \int \sin (3 x + 4) d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 3 x + 4$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 3 x + 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $3 x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 2.3.2.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.2.1.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2.3.3

$\sin (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Passaggio 2.3.5

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int \sin (u) d u$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} (- \cos (u) + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} (- \cos (u)) + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

$\frac{2}{3}$ e $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \frac{2 \cos (u)}{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x + 4$ .

$y + C_{1} = - \frac{2 \cos (3 x + 4)}{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.9

Riordina i termini.

$y + C_{1} = - \frac{2}{3} \cos (3 x + 4) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - \frac{2}{3} \cos (3 x + 4) + K$