Calcolo Esempi

$6 y^{2} d x = 9 x y d y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$9 x y d y = 6 y^{2} d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y^{2}} (9 x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$9 \frac{1}{x y^{2}} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

Passaggio 3.2

$9$ e $\frac{1}{x y^{2}}$ .

$\frac{9}{x y^{2}} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $x y$ da $x y^{2}$ .

$\frac{9}{x y (y)} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{9}{x y \cdot y} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9}{y} d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{9}{y} d y = 6 \frac{1}{x y^{2}} y^{2} d x$

Passaggio 3.5

$6$ e $\frac{1}{x y^{2}}$ .

$\frac{9}{y} d y = \frac{6}{x y^{2}} y^{2} d x$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2}$ .

$\frac{9}{y} d y = \frac{6}{y^{2} x} y^{2} d x$

Passaggio 3.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{9}{y} d y = \frac{6}{y^{2} x} y^{2} d x$

Passaggio 3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9}{y} d y = \frac{6}{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{9}{y} d y = \int \frac{6}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $y$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$9 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$9 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{6}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

$9 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$9 \ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$9 \ln (| y |) + C_{1} = 6 (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

$9 \ln (| y |) + C_{1} = 6 \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$9 \ln (| y |) = 6 \ln (| x |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$9 \ln (| y |) - 6 \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica $9 \ln (| y |) - 6 \ln (| x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1.1

Semplifica $9 \ln (| y |)$ spostando $9$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({| y |}^{9}) - 6 \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2.1.1.2

Semplifica $- 6 \ln (| x |)$ spostando $6$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({| y |}^{9}) - \ln ({| x |}^{6}) = C$

Passaggio 5.2.1.1.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{6}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln ({| y |}^{9}) - \ln (x^{6}) = C$

Passaggio 5.2.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}}) = C$

Passaggio 5.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}})} = e^{C}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $\ln (\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{| y |}^{9}}{x^{6}}$

Passaggio 5.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}} = e^{C}$ .

$\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}} = e^{C}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica ogni lato per $x^{6}$ .

$\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}} x^{6} = e^{C} x^{6}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}} x^{6} = e^{C} x^{6}$

Passaggio 5.5.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

${| y |}^{9} = e^{C} x^{6}$

Passaggio 5.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1

Riordina i fattori in $e^{C} x^{6}$ .

${| y |}^{9} = x^{6} e^{C}$

Passaggio 5.5.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$| y | = \sqrt[9]{x^{6} e^{C}}$

Passaggio 5.5.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \sqrt[9]{x^{6} e^{C}}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \sqrt[9]{x^{6} C}$