Calcolo Esempi

$\frac{d y}{4 d x} + \frac{3 y}{x} = x^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Metti in evidenza $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = x^{2}$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = x^{2}$

Passaggio 1.3

Riordina $y$ e $\frac{3}{x}$ .

$\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = x^{2}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = x^{2}$ per $4$ .

$\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} \cdot 4 + \frac{3}{x} y \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

Passaggio 1.5

$\frac{1}{4}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{4} \cdot 4 + \frac{3}{x} y \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{4} \cdot 4 + \frac{3}{x} y \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

Passaggio 1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

Passaggio 1.7

$\frac{3}{x}$ e $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

Passaggio 1.8

$\frac{3 y}{x}$ e $4$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y \cdot 4}{x} = x^{2} \cdot 4$

Passaggio 1.9

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{12 y}{x} = x^{2} \cdot 4$

Passaggio 1.10

Riordina $x^{2}$ e $4$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{12 y}{x} = 4 \cdot x^{2}$

Passaggio 1.11

Scomponi $y$ da $\frac{12 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{12}{x} = 4 \cdot x^{2}$

Passaggio 1.12

Riordina $y$ e $\frac{12}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{12}{x} y = 4 \cdot x^{2}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{12}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{12}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{12}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$e^{12 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{12 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$e^{12 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{12 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{12})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{12}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{12}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $x^{12}$ .

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x^{12} (\frac{12}{x} y) = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

$\frac{12}{x}$ e $y$ .

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x^{12} \frac{12 y}{x} = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{12}$ .

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{11} \frac{12 y}{x} = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{11} \frac{12 y}{x} = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x^{11} (12 y) = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = 4 x^{12} x^{2}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $x^{12}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = 4 (x^{2} x^{12})$

Passaggio 3.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = 4 x^{2 + 12}$

Passaggio 3.4.3

Somma $2$ e $12$ .

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = 4 x^{14}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{12} y] = 4 x^{14}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{12} y] d x = \int 4 x^{14} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$x^{12} y = \int 4 x^{14} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$x^{12} y = 4 \int x^{14} d x$

Passaggio 7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{14}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{15} x^{15}$ .

$x^{12} y = 4 (\frac{1}{15} x^{15} + C)$

Passaggio 7.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.3.1

Riscrivi $4 (\frac{1}{15} x^{15} + C)$ come $4 (\frac{1}{15}) x^{15} + C$ .

$x^{12} y = 4 (\frac{1}{15}) x^{15} + C$

Passaggio 7.3.2

$4$ e $\frac{1}{15}$ .

$x^{12} y = \frac{4}{15} x^{15} + C$

Passaggio 8

Dividi per $x^{12}$ ciascun termine in $x^{12} y = \frac{4}{15} x^{15} + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $x^{12}$ ciascun termine in $x^{12} y = \frac{4}{15} x^{15} + C$ .

$\frac{x^{12} y}{x^{12}} = \frac{\frac{4}{15} x^{15}}{x^{12}} + \frac{C}{x^{12}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{12} y}{x^{12}} = \frac{\frac{4}{15} x^{15}}{x^{12}} + \frac{C}{x^{12}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{4}{15} x^{15}}{x^{12}} + \frac{C}{x^{12}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{15}$ e $x^{12}$ .

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Passaggio 8.3.1.1.1

Scomponi $x^{12}$ da $\frac{4}{15} x^{15}$ .

$y = \frac{x^{12} (\frac{4}{15} x^{3})}{x^{12}} + \frac{C}{x^{12}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.3.1.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{x^{12} (\frac{4}{15} x^{3})}{x^{12} \cdot 1} + \frac{C}{x^{12}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{12} (\frac{4}{15} x^{3})}{x^{12} \cdot 1} + \frac{C}{x^{12}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\frac{4}{15} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{12}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.4

Dividi $\frac{4}{15} x^{3}$ per $1$ .

$y = \frac{4}{15} x^{3} + \frac{C}{x^{12}}$

Passaggio 8.3.1.2

$\frac{4}{15}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{4 x^{3}}{15} + \frac{C}{x^{12}}$