Calcolo Esempi

$(1 - x^{2}) (1 - y) d x = x y (1 + y) d y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$x y (1 + y) d y = (1 - x^{2}) (1 - y) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x (1 - y)}$ .

$\frac{1}{x (1 - y)} (x y (1 + y)) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x$ da $x y (1 + y)$ .

$\frac{1}{x (1 - y)} (x (y (1 + y))) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x (1 - y)} (x (y (1 + y))) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 - y} (y (1 + y)) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

Passaggio 3.2

$y$ e $\frac{1}{1 - y}$ .

$\frac{y}{1 - y} (1 + y) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\frac{y}{1 - y}$ per $1 + y$ .

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $1 - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $1 - y$ da $x (1 - y)$ .

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{(1 - y) x} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $1 - y$ da $(1 - x^{2}) (1 - y)$ .

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{(1 - y) x} ((1 - y) (1 - x^{2})) d x$

Passaggio 3.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{(1 - y) x} ((1 - y) (1 - x^{2})) d x$

Passaggio 3.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{x} (1 - x^{2}) d x$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1 - x^{2}$ .

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1^{2} - x^{2}}{x} d x$

Passaggio 3.6.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{y \cdot 1 + y \cdot y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Riordina $y$ e $1$ .

$\int \frac{1 \cdot y + y \cdot y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\int \frac{y + y \cdot y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{y + y^{1} y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2.4

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{y + y^{1} y^{1}}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{y + y^{1 + 1}}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2.6

Somma $1$ e $1$ .

$\int \frac{y + y^{2}}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2.7

Riordina $y$ e $y^{2}$ .

$\int \frac{y^{2} + y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2.8

Riordina $1$ e $- y$ .

$\int \frac{y^{2} + y}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2.9

Dividi $y^{2} + y$ per $- y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.9.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y$

$1$

$y^{2}$

$y$

$0$

Passaggio 4.2.9.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $- y$ .

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$

Passaggio 4.2.9.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				+	$y^{2}$	-	$y$

Passaggio 4.2.9.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y^{2} - y$

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$

Passaggio 4.2.9.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$

Passaggio 4.2.9.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$

Passaggio 4.2.9.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 y$ per il termine di ordine più alto nel divisore $- y$ .

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$

Passaggio 4.2.9.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$
						+	$2 y$	-	$2$

Passaggio 4.2.9.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 y - 2$

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$
						-	$2 y$	+	$2$

Passaggio 4.2.9.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$
						-	$2 y$	+	$2$
								+	$2$

Passaggio 4.2.9.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int - y - 2 + \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2.10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - y d y + \int - 2 d y + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int y d y + \int - 2 d y + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2.12

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 2 d y + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2.13

Applica la regola costante.

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2.14

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2.15

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 \int \frac{1}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2.16

Sia $u = - y + 1$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.16.1

Sia $u = - y + 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.16.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 4.2.16.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.2.16.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2.18

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 (- \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2.19

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2.20

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} - 2 (\ln (| u |) + C_{3}) = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2.21

Semplifica.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| u |) + C_{4} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.2.22

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- y + 1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 (1 - x) + x (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 4.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x} d x$

Passaggio 4.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Riordina $x$ e $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x)}{x} d x$

Passaggio 4.3.4.2

Riordina $x$ e $- 1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x}{x} d x$

Passaggio 4.3.4.3

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Passaggio 4.3.4.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Passaggio 4.3.4.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Passaggio 4.3.5

Metti in evidenza il valore negativo.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x} d x$

Passaggio 4.3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x)}{x} d x$

Passaggio 4.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x^{1})}{x} d x$

Passaggio 4.3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - x^{1 + 1}}{x} d x$

Passaggio 4.3.9

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - x^{2}}{x} d x$

Passaggio 4.3.10

Somma $- x$ e $x$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 + 0 - x^{2}}{x} d x$

Passaggio 4.3.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.11.1

Sottrai $x^{2}$ da $0$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

Passaggio 4.3.11.2

Riordina $1$ e $- x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{- x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 4.3.12

Dividi $- x^{2} + 1$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.12.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 4.3.12.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Passaggio 4.3.12.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

Passaggio 4.3.12.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} + 0$

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

Passaggio 4.3.12.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Passaggio 4.3.12.6

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Passaggio 4.3.12.7

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.13

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.14

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.15

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.16

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \ln (| x |) + C_{6}$

Passaggio 4.3.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.17.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) + \ln (| x |) + C_{6}$

Passaggio 4.3.17.2

Semplifica.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{7}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$