Calcolo Esempi

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d x - (6 x + 1) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- (6 x + 1) d y = - \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ .

$\frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- (6 x + 1)) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $6 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ nel numeratore.

$\frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \cos^{2} (y) d y = - \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ nel numeratore.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $\cos^{2} (y)$ da $- \cos^{2} (y)$ .

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y) \cdot - 1}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Passaggio 3.4.3

Elimina il fattore comune.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y) \cdot - 1}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Passaggio 3.4.4

Riscrivi l'espressione.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{- 1}{6 x + 1} d x$

Passaggio 3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \cos^{2} (y) d y = - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int - \cos^{2} (y) d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \cos^{2} (y) d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Passaggio 4.2.2

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (y)$ come $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

$- \int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Passaggio 4.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Passaggio 4.2.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- \frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Passaggio 4.2.5

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Passaggio 4.2.6

Sia $u_{1} = 2 y$ . Allora $d u_{1} = 2 d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Sia $u_{1} = 2 y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1.1

Differenzia $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 4.2.6.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 4.2.6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 4.2.6.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 4.2.6.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Passaggio 4.2.7

$\cos (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Passaggio 4.2.8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Passaggio 4.2.9

L'integrale di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sin (u_{1})$ .

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C_{2})) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Passaggio 4.2.10

Semplifica.

$- \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u_{1})) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Passaggio 4.2.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 y$ .

$- \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Passaggio 4.2.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.12.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 y)$ .

$- \frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Passaggio 4.2.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Passaggio 4.2.12.3

$y$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Passaggio 4.2.12.4

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.12.4.1

Moltiplica $\frac{\sin (2 y)}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Passaggio 4.2.12.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Passaggio 4.2.13

Riordina i termini.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{6 x + 1} d x$

Passaggio 4.3.2

Sia $u_{2} = 6 x + 1$ . Allora $d u_{2} = 6 d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sia $u_{2} = 6 x + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Differenzia $6 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 1]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3.2.1.3.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 + 0$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Somma $6$ e $0$ .

$6$

Passaggio 4.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{6} d u_{2}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 6} d u_{2}$

Passaggio 4.3.3.2

Sposta $6$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{6 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.4

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 4.3.5

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{4})$

Passaggio 4.3.6

Semplifica.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Passaggio 4.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $6 x + 1$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} \ln (| 6 x + 1 |) + C_{4}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) = - \frac{1}{6} \ln (| 6 x + 1 |) + C$