Calcolo Esempi

$(1 + x^{2}) d y - x y d x = 0$

Passaggio 1

Somma $x y d x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$(1 + x^{2}) d y = x y d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $1 + x^{2}$ da $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $y$ da $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} (x y) d x$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Passaggio 3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} x d x$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.1

Differenzia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 4.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.3.1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.3.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Passaggio 4.3.1.1.5

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 4.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 4.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 4.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| 1 + x^{2} |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 5.3

Per scrivere $\ln (| y |)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 5.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

$\ln (| y |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 5.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 5.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 5.6

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.6.1

Semplifica $\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2}$ .

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Passaggio 5.6.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.6.1.1.1

Semplifica $2 \ln (| y |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 5.6.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\frac{\ln (y^{2}) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Passaggio 5.6.1.1.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})}{2} = C$

Passaggio 5.6.1.2

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |}) = C$

Passaggio 5.6.1.3

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({(\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 5.6.1.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |}$ .

$\ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 5.6.1.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.6.1.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.5.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 5.6.1.5.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 5.6.1.5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{y^{1}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 5.6.1.5.2

Semplifica.

$\ln (\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 5.7

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Passaggio 5.8

Riscrivi $\ln (\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.9

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Passaggio 5.9.2

Moltiplica ogni lato per ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9.3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.9.3.1

Elimina il fattore comune di ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = e^{C} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = C {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$