Calcolo Esempi

$2 x (x - 3 y) d y = - y (8 x - 9 y) d x$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $y (8 x - 9 y) d x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x (x - 3 y) d y + y (8 x - 9 y) d x = 0$

Passaggio 1.2

Riscrivi.

$y (8 x - 9 y) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y (8 x - 9 y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (8 x - 9 y)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = 8 x - 9 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [8 x - 9 y] + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x - 9 y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [- 9 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [- 9 y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.2

Poiché $8 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- 9 y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [- 9 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- 9 y] + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 9 y$ rispetto a $y$ è $- 9 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 9 \frac{d}{d y} [y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 9 \cdot 1) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot - 9 + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.6.2

Sposta $- 9$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 \cdot y + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y + (8 x - 9 y) \cdot 1$

Passaggio 2.3.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Moltiplica $8 x - 9 y$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y + 8 x - 9 y$

Passaggio 2.3.8.2

Sottrai $9 y$ da $- 9 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 x - 18 y$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 2 x (x - 3 y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x (x - 3 y)]$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x (x - 3 y)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x (x - 3 y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x (x - 3 y)]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x - 3 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x \frac{d}{d x} [x - 3 y] + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4.3

Poiché $- 3 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (1 + 0) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x \cdot 1 + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + (x - 3 y) \cdot 1)$

Passaggio 3.4.6

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Moltiplica $x - 3 y$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + x - 3 y)$

Passaggio 3.4.6.2

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x - 3 y)$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x) + 2 (- 3 y)$

Passaggio 3.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 2 (- 3 y)$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x - 6 y$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $8 x - 18 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $4 x - 6 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$8 x - 18 y = 4 x - 6 y$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$8 x - 18 y = 4 x - 6 y$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $8 x - 18 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{8 x - 18 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $4 x - 6 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{8 x - 18 y - (4 x - 6 y)}{N}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $2 x (x - 3 y)$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $2 x (x - 3 y)$ a $N$ .

$\frac{8 x - 18 y - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune di $8 x - 18 y - (4 x - 6 y)$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $- 1$ da $8 x$ .

$\frac{- (- 8 x) - 18 y - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $- 1$ da $- 18 y$ .

$\frac{- (- 8 x) - (18 y) - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $- (- 8 x) - (18 y)$ .

$\frac{- (- 8 x + 18 y) - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (- 8 x + 18 y) - (4 x - 6 y)$ .

$\frac{- (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.2.5

Riscrivi $- (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ come $- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ .

$\frac{- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.2.6

Scomponi $2$ da $- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 x (x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.2.7

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.7.1

Scomponi $2$ da $2 x (x - 3 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 (x (x - 3 y))}$

Passaggio 5.3.2.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 (x (x - 3 y))}$

Passaggio 5.3.2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Somma $- 4 x$ e $2 x$ .

$\frac{- 1 (- 2 x + 9 y - 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.2

Sottrai $3 y$ da $9 y$ .

$\frac{- 1 (- 2 x + 6 y)}{x (x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $2$ da $- 2 x + 6 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{- 1 (2 (- x) + 6 y)}{x (x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Scomponi $2$ da $6 y$ .

$\frac{- 1 (2 (- x) + 2 (3 y))}{x (x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.3.3

Scomponi $2$ da $2 (- x) + 2 (3 y)$ .

$\frac{- 1 (2 (- x + 3 y))}{x (x - 3 y)}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (- x + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.3.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 (- x + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.4

Elimina il fattore comune di $- x + 3 y$ e $x - 3 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{- 2 (- (x) + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.4.2

Scomponi $- 1$ da $3 y$ .

$\frac{- 2 (- (x) - (- 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.4.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - (- 3 y)$ .

$\frac{- 2 (- (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.4.4

Riscrivi $- (x - 3 y)$ come $- 1 (x - 3 y)$ .

$\frac{- 2 (- 1 (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.4.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 (- 1 (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Passaggio 5.3.4.6

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2 \cdot (- 1)}{x}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{2}{x}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 6.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

Passaggio 6.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica $2 \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

Passaggio 6.4.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

Passaggio 6.4.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $y (8 x - 9 y) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$ per il fattore di integrazione $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $y (8 x - 9 y)$ per $x^{2}$ .

$y (8 x - 9 y) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$(y (8 x) + y (- 9 y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Passaggio 7.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(8 y x + y (- 9 y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Passaggio 7.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(8 y x - 9 y \cdot y) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Passaggio 7.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sposta $y$ .

$(8 y x - 9 (y \cdot y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$(8 y x - 9 y^{2}) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Passaggio 7.6

Applica la proprietà distributiva.

$(8 y x \cdot x^{2} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Passaggio 7.7

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$(8 y (x^{2} x) - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Passaggio 7.7.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(8 y (x^{2} x^{1}) - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Passaggio 7.7.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(8 y x^{2 + 1} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Passaggio 7.7.3

Somma $2$ e $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Passaggio 7.8

Moltiplica $2 x (x - 3 y)$ per $x^{2}$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) x^{2} d y = 0$

Passaggio 7.9

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.1

Sposta $x^{2}$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 (x^{2} x) (x - 3 y) d y = 0$

Passaggio 7.9.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 (x^{2} x^{1}) (x - 3 y) d y = 0$

Passaggio 7.9.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x^{2 + 1} (x - 3 y) d y = 0$

Passaggio 7.9.3

Somma $2$ e $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x^{3} (x - 3 y) d y = 0$

Passaggio 7.10

Applica la proprietà distributiva.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{3} x + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Passaggio 7.11

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.1

Sposta $x$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Passaggio 7.11.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Passaggio 7.11.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Passaggio 7.11.3

Somma $1$ e $3$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Passaggio 7.12

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} + 2 \cdot - 3 x^{3} y) d y = 0$

Passaggio 7.13

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} - 6 x^{3} y) d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2} d x$

Passaggio 9

Integra $M (x, y) = 8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int 8 y x^{3} d x + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Passaggio 9.2

Poiché $8 y$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8 y$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 8 y \int x^{3} d x + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Passaggio 9.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Passaggio 9.4

Poiché $- 9 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 9 y^{2}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 y^{2} \int x^{2} d x$

Passaggio 9.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 9.6

Semplifica.

$f (x, y) = 8 \cdot \frac{1}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Passaggio 9.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.1

$8$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{8}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Passaggio 9.7.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Passaggio 9.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Passaggio 9.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Passaggio 9.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = \frac{2}{1} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Passaggio 9.7.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Passaggio 9.7.3

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 9 y^{2} \frac{x^{3}}{3} + C$

Passaggio 9.7.4

$- 9$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} \frac{- 9 x^{3}}{3} + C$

Passaggio 9.7.5

$y^{2}$ e $\frac{- 9 x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{y^{2} (- 9 x^{3})}{3} + C$

Passaggio 9.7.6

Elimina il fattore comune di $- 9$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.6.1

Scomponi $3$ da $y^{2} (- 9 x^{3})$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3} + C$

Passaggio 9.7.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.7.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3 (1)} + C$

Passaggio 9.7.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3 \cdot 1} + C$

Passaggio 9.7.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{y^{2} (- 3 x^{3})}{1} + C$

Passaggio 9.7.6.2.4

Dividi $y^{2} (- 3 x^{3})$ per $1$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 y x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y x^{4}]$ .

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Passaggio 12.3.1

Poiché $2 x^{4}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y x^{4}$ rispetto a $y$ è $2 x^{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 x^{4} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Passaggio 12.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Passaggio 12.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Passaggio 12.4

Calcola $\frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})]$ .

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Passaggio 12.4.1

Poiché $- 3 x^{3}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y^{2} (- 3 x^{3})$ rispetto a $y$ è $- 3 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Passaggio 12.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Passaggio 12.4.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$2 x^{4} - 6 x^{3} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Passaggio 12.5

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x^{4} - 6 x^{3} y + \frac{d g}{d y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Passaggio 12.6

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{4} - 6 x^{3} y = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

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Passaggio 13.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 13.1.1

Sottrai $2 x^{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} - 6 x^{3} y = 2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4}$

Passaggio 13.1.2

Somma $6 x^{3} y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4} + 6 x^{3} y$

Passaggio 13.1.3

Combina i termini opposti in $2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4} + 6 x^{3} y$ .

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Passaggio 13.1.3.1

Sottrai $2 x^{4}$ da $2 x^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 x^{3} y + 0 + 6 x^{3} y$

Passaggio 13.1.3.2

Somma $- 6 x^{3} y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 x^{3} y + 6 x^{3} y$

Passaggio 13.1.3.3

Somma $- 6 x^{3} y$ e $6 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (y)$ .

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Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Passaggio 14.3

L'integrale di $0$ rispetto a $y$ è $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Passaggio 14.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + C$

Passaggio 16

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 3 y^{2} x^{3} + C$