Calcolo Esempi

$y \frac{d y}{d x} = x e^{- y^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{- y^{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (x e^{- y^{2}})$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $e^{- y^{2}}$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $e^{- y^{2}}$ da $x e^{- y^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (e^{- y^{2}} x)$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (e^{- y^{2}} x)$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = x$

Passaggio 1.3

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} y \frac{d y}{d x} = x$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} y d y = x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{e^{- y^{2}}} y d y = \int x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.2.1.1

$\frac{1}{e^{- y^{2}}}$ e $y$ .

$\int \frac{y}{e^{- y^{2}}} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.1.2.1

Nega l'esponente di $e^{- y^{2}}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int y {(e^{- y^{2}})}^{- 1} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{- y^{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{- y^{2} \cdot - 1} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2.1.2.2.2

Moltiplica $- y^{2} \cdot - 1$ .

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Passaggio 2.2.1.2.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int y e^{1 y^{2}} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2.1.2.2.2.2

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\int y e^{y^{2}} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = y^{2}$ . Allora $d u = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Sia $u = y^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.2.1.1

Differenzia $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 y$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int x d x$

Passaggio 2.2.3

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u = \int x d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int x d x$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int x d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$\frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{y^{2}}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} e^{y^{2}})$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{y^{2}}$ .

$2 \frac{e^{y^{2}}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{e^{y^{2}}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{y^{2}} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{y^{2}} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{y^{2}} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$e^{y^{2}} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{y^{2}} = x^{2} + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y^{2}}) = \ln (x^{2} + 2 K)$

Passaggio 3.4

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.1

Espandi $\ln (e^{y^{2}})$ spostando $y^{2}$ fuori dal logaritmo.

$y^{2} \ln (e) = \ln (x^{2} + 2 K)$

Passaggio 3.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y^{2} \cdot 1 = \ln (x^{2} + 2 K)$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \ln (x^{2} + 2 K)$

Passaggio 3.5

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Passaggio 3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Passaggio 3.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Passaggio 3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + K)}$