Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x \sin (x)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $y$ da $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x \sin (x)$

Passaggio 1.2

Riordina $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x \sin (x)$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\ln (x)}$

Passaggio 2.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x (x \sin (x))$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (x \sin (x))$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (x \sin (x))$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (x \sin (x))$

Passaggio 3.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sposta $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x \cdot x \sin (x)$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{2} \sin (x)$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{2} \sin (x)$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{2} \sin (x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$x y = \int x^{2} \sin (x) d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2}$ e $d v = \sin (x)$ .

$x y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x$

Passaggio 7.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$x y = x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x)$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$x y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x$

Passaggio 7.5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \cos (x)$ .

$x y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

Passaggio 7.6

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$x y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$

Passaggio 7.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Riscrivi $x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$ come $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$ .

$x y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$

Passaggio 7.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + 1 \cos (x)) + C$

Passaggio 7.7.2.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$x y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$

Passaggio 8

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y}{x} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $- x^{2} \cos (x)$ .

$y = \frac{x (- x \cos (x))}{x} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x (- x \cos (x))}{x^{1}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.3.1.1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$y = \frac{x (- x \cos (x))}{x \cdot 1} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.3.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x (- x \cos (x))}{x \cdot 1} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.3.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{- x \cos (x)}{1} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.3.1.1.2.5

Dividi $- x \cos (x)$ per $1$ .

$y = - x \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.3.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - x \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C}{x}$

Passaggio 8.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - x \cos (x) + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Passaggio 8.3.3

Per scrivere $- x \cos (x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y = - x \cos (x) \cdot \frac{x}{x} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Passaggio 8.3.4

$- x \cos (x)$ e $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{- x \cos (x) x}{x} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Passaggio 8.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- x \cos (x) x + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Passaggio 8.3.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.6.1

Sposta $x$ .

$y = \frac{- (x \cdot x) \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Passaggio 8.3.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{- x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Passaggio 8.3.7

Scomponi $- 1$ da $- x^{2} \cos (x)$ .

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x)) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Passaggio 8.3.8

Scomponi $- 1$ da $2 x \sin (x)$ .

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x)) - (- 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Passaggio 8.3.9

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} \cos (x)) - (- 2 x \sin (x))$ .

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Passaggio 8.3.10

Scomponi $- 1$ da $2 \cos (x)$ .

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x)) + C}{x}$

Passaggio 8.3.11

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x))$ .

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) + C}{x}$

Passaggio 8.3.12

Scomponi $- 1$ da $C$ .

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)}{x}$

Passaggio 8.3.13

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)$ .

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x}$

Passaggio 8.3.14

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.14.1

Riscrivi $- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ come $- 1 (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ .

$y = \frac{- 1 (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x}$

Passaggio 8.3.14.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x}$