Calcolo Esempi

$y' \ln (| y |) = e^{x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale.

$\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$

Passaggio 2

Separa le variabili.

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Passaggio 2.1

Dividi per $\ln (| y |)$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$ e semplifica.

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Passaggio 2.1.1

Dividi per $\ln (| y |)$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (| y |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Passaggio 2.2

Moltiplica ogni lato per $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = \ln (| y |) \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune di $\ln (| y |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = \ln (| y |) \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = e^{x}$

Passaggio 2.4

Riscrivi l'equazione.

$\ln (| y |) d y = e^{x} d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \ln (| y |) d y = \int e^{x} d x$

Passaggio 3.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (| y |)$ e $d v = 1$ .

$\ln (| y |) y - \int y \frac{1}{y} d y = \int e^{x} d x$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

$y$ e $\frac{1}{y}$ .

$\ln (| y |) y - \int \frac{y}{y} d y = \int e^{x} d x$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y |) y - \int \frac{y}{y} d y = \int e^{x} d x$

Passaggio 3.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y |) y - \int d y = \int e^{x} d x$

Passaggio 3.2.3

Applica la regola costante.

$\ln (| y |) y - (y + C_{1}) = \int e^{x} d x$

Passaggio 3.2.4

Semplifica.

$\ln (| y |) y - y + C_{1} = \int e^{x} d x$

Passaggio 3.2.5

Riordina i termini.

$y \ln (| y |) - y + C_{1} = \int e^{x} d x$

Passaggio 3.3

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$y \ln (| y |) - y + C_{1} = e^{x} + C_{2}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y \ln (| y |) - y = e^{x} + C$