Calcolo Esempi

$2 \frac{d y}{d x} + 10 y = 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $10 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \frac{d y}{d x} = 1 - 10 y$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \frac{d y}{d x} = 1 - 10 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \frac{d y}{d x} = 1 - 10 y$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 10 y}{2}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 10 y}{2}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{- 10 y}{2}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 10$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 10 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{2 (- 5 y)}{2}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{2 (- 5 y)}{2 (1)}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{2 (- 5 y)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{- 5 y}{1}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.4

Dividi $- 5 y$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} - 5 y$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} (\frac{1}{2} - 5 y)$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $\frac{1}{2} - 5 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} (\frac{1}{2} - 5 y)$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} \frac{d y}{d x} = 1$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} d y = 1 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} d y = \int d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = \frac{1}{2} - 5 y$ . Allora $d u = - 5 d y$ , quindi $- \frac{1}{5} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = \frac{1}{2} - 5 y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $\frac{1}{2} - 5 y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} - 5 y]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} - 5 y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y]$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{1}{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 5 y]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- 5 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 5 y$ rispetto a $y$ è $- 5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.1.3.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$0 - 5$

Passaggio 2.2.1.1.4

Sottrai $5$ da $0$ .

$- 5$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 5} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{5}) d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{5}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 5} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2.3

Sposta $5$ alla sinistra di $u$ .

$\int - \frac{1}{5 u} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{5 u} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{5} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$- \frac{1}{5} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{2} - 5 y$ .

$- \frac{1}{5} \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{5} \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{5} \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = x + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 5$ .

$- 5 (- \frac{1}{5} \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)) = - 5 (x + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $- 5 (- \frac{1}{5} \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)$ e $\frac{1}{5}$ .

$- 5 (- \frac{\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)}{5}) = - 5 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)}{5}$ nel numeratore.

$- 5 \frac{- \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)}{5} = - 5 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$5 (- 1) \frac{- \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)}{5} = - 5 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$5 \cdot - 1 \frac{- \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)}{5} = - 5 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- - \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = - 5 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = - 5 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.3.2

Moltiplica $\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)$ per $1$ .

$\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = - 5 (x + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = - 5 x - 5 C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)} = e^{- 5 x - 5 C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = - 5 x - 5 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 5 x - 5 C} = | \frac{1}{2} - 5 y |$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $| \frac{1}{2} - 5 y | = e^{- 5 x - 5 C}$ .

$| \frac{1}{2} - 5 y | = e^{- 5 x - 5 C}$

Passaggio 3.5.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$\frac{1}{2} - 5 y = \pm e^{- 5 x - 5 C}$

Passaggio 3.5.3

Sottrai $\frac{1}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 5 y = \pm e^{- 5 x - 5 C} - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Per scrivere $\pm e^{- 5 x - 5 C}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 5 y = (\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5.4.2

$\pm e^{- 5 x - 5 C}$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 5 y = \frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 5 y = \frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}$

Passaggio 3.5.5

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 y = \frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 y = \frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{\frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}}{- 5}$

Passaggio 3.5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $- 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{\frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}}{- 5}$

Passaggio 3.5.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}}{- 5}$

Passaggio 3.5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2} \cdot \frac{1}{- 5}$

Passaggio 3.5.5.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\pm e^{- 5 x - 5 C}$ .

$y = \frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{2} \cdot \frac{1}{- 5}$

Passaggio 3.5.5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{2} (- \frac{1}{5})$

Passaggio 3.5.5.3.4

Moltiplica $\frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{2} (- \frac{1}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.3.4.1

Moltiplica $\frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{2}$ per $\frac{1}{5}$ .

$y = - \frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{2 \cdot 5}$

Passaggio 3.5.5.3.4.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$y = - \frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{10}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{2 (\pm e^{- 5 x + C}) - 1}{10}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $e^{- 5 x + C}$ come $e^{- 5 x} e^{C}$ .

$y = - \frac{2 (\pm e^{- 5 x} e^{C}) - 1}{10}$

Passaggio 4.3

Riordina $e^{- 5 x}$ e $e^{C}$ .

$y = - \frac{2 (\pm e^{C} e^{- 5 x}) - 1}{10}$

Passaggio 4.4

Combina costanti con il più o il meno.

$y = - \frac{2 (C e^{- 5 x}) - 1}{10}$