Calcolo Esempi

$(2 x y + 3 y^{2}) d x = (2 x y + x^{2}) d y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $(2 x y + x^{2}) d y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(2 x y + 3 y^{2}) d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 2 x y + 3 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + 3 y^{2}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x y + 3 y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 y^{2}$ rispetto a $y$ è $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 (2 y)$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 6 y$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - (2 x y + x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 x y + x^{2})]$

Passaggio 3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (2 x y + x^{2})$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2}]$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x y + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.4

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + 2 x)$

Passaggio 3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y) - (2 x)$

Passaggio 3.8.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - (2 x)$

Passaggio 3.8.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - 2 x$

Passaggio 3.8.3

Riordina i termini.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - 2 y$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2 x + 6 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 x - 2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 x + 6 y = - 2 x - 2 y$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 x + 6 y = - 2 x - 2 y$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $2 x + 6 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x + 6 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $- 2 x - 2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x - 2 y)}{N}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $- (2 x y + x^{2})$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $- (2 x y + x^{2})$ a $N$ .

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x - 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x) - (- 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x + 6 y + 2 x - (- 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Passaggio 5.3.2.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x + 6 y + 2 x + 2 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Passaggio 5.3.2.4

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{4 x + 6 y + 2 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Passaggio 5.3.2.5

Somma $6 y$ e $2 y$ .

$\frac{4 x + 8 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Passaggio 5.3.2.6

Scomponi $4$ da $4 x + 8 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.6.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$\frac{4 (x) + 8 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Passaggio 5.3.2.6.2

Scomponi $4$ da $8 y$ .

$\frac{4 (x) + 4 (2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Passaggio 5.3.2.6.3

Scomponi $4$ da $4 (x) + 4 (2 y)$ .

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $x$ da $2 x y + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $x$ da $2 x y$ .

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y) + x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y) + x \cdot x)}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $x$ da $x (2 y) + x \cdot x$ .

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y + x))}$

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (2 y + x)}$

Passaggio 5.3.4

Elimina il fattore comune di $x + 2 y$ e $2 y + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Riordina i termini.

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{- x}$

Passaggio 5.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{x}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Passaggio 6.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 6.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Passaggio 6.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Semplifica $- 4 \ln (| x |)$ spostando $- 4$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Passaggio 6.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Passaggio 6.6.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{- 4}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Passaggio 6.6.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $(2 x y + 3 y^{2}) d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x^{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $2 x y + 3 y^{2}$ per $\frac{1}{x^{4}}$ .

$(2 x y + 3 y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2 x y + 3 y^{2}$ per $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.3

Scomponi $y$ da $2 x y + 3 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Scomponi $y$ da $2 x y$ .

$\frac{y (2 x) + 3 y^{2}}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.3.2

Scomponi $y$ da $3 y^{2}$ .

$\frac{y (2 x) + y (3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.3.3

Scomponi $y$ da $y (2 x) + y (3 y)$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- (2 x y + x^{2})$ per $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Passaggio 7.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + (- (2 x y) - x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Passaggio 7.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + (- 2 (x y) - x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Passaggio 7.7

Moltiplica $- 2 x y - x^{2}$ per $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 2 x y - x^{2}}{x^{4}} d y = 0$

Passaggio 7.8

Scomponi $x$ da $- 2 x y - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Scomponi $x$ da $- 2 x y$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y) - x^{2}}{x^{4}} d y = 0$

Passaggio 7.8.2

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y) + x (- x)}{x^{4}} d y = 0$

Passaggio 7.8.3

Scomponi $x$ da $x (- 2 y) + x (- x)$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x^{4}} d y = 0$

Passaggio 7.9

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.9.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.9.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 2 y - x}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.10

Scomponi $- 1$ da $- 2 y$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y) - x}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.11

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y) - (x)}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.12

Scomponi $- 1$ da $- (2 y) - (x)$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y + x)}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.13

Riscrivi $- (2 y + x)$ come $- 1 (2 y + x)$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 1 (2 y + x)}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - \frac{2 y + x}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{2 y + x}{x^{3}} d y$

Passaggio 9

Integra $N (x, y) = - \frac{2 y + x}{x^{3}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = - \int \frac{2 y + x}{x^{3}} d y$

Passaggio 9.2

Poiché $\frac{1}{x^{3}}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{x^{3}}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = - (\frac{1}{x^{3}} \int 2 y + x d y)$

Passaggio 9.3

Rimuovi le parentesi.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} \int 2 y + x d y$

Passaggio 9.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (\int 2 y d y + \int x d y)$

Passaggio 9.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 \int y d y + \int x d y)$

Passaggio 9.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int x d y)$

Passaggio 9.7

Applica la regola costante.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + x y + C)$

Passaggio 9.8

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{y^{2}}{2} + C) + x y + C)$

Passaggio 9.9

Semplifica.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ e $g (x) = y^{2} + x y$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [y^{2} + x y] + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + x y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.4

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + \frac{d}{d x} [x y]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.5

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \frac{d}{d x} [x]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.7

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.8.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.10

Moltiplica $y$ per $1$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.11

Somma $0$ e $y$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} y + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.12

$\frac{1}{x^{3}}$ e $y$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.13

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.13.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.13.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- x^{- 6} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.14

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 6} x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.15

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.15.1

Sposta $x^{2}$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 (x^{2} x^{- 6}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.15.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{2 - 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.15.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.16

Per scrivere $(y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + \frac{(y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4}) x^{3}}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4}) x^{3}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.18

Moltiplica $x^{- 4}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.18.1

Sposta $x^{3}$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 (x^{3} x^{- 4}))}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.18.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{3 - 4})}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.18.3

Sottrai $4$ da $3$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 1})}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 1})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{y + y^{2} (- 3 \frac{1}{x}) + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.3.1

$- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{y + y^{2} \frac{- 3}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{y + y^{2} (- \frac{3}{x}) + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.3

$y^{2}$ e $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{y^{2} \cdot 3}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.4

Sposta $3$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$- \frac{y - \frac{3 \cdot y^{2}}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.5

$- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + x y \frac{- 3}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + x y (- \frac{3}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.7

$x$ e $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + y (- \frac{x \cdot 3}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.8

$y$ e $\frac{x \cdot 3}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{y (x \cdot 3)}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.9

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{y (3 \cdot x)}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.10

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{3 \cdot y x}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.11

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.3.11.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{3 y x}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.11.2

Dividi $3 y$ per $1$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - (3 y)}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.12

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - 3 y}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.13

Sottrai $3 y$ da $y$ .

$- \frac{- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.14

Per scrivere $\frac{d g}{d x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$- \frac{- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} + \frac{\frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- (- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}) + \frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.4

Riordina i termini.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} - (- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x})}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} - (- 2 y) - - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.5.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y - - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.5.3

Moltiplica $- - \frac{3 y^{2}}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y + 1 \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.5.3.2

Moltiplica $\frac{3 y^{2}}{x}$ per $1$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y + \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.5.4

Per scrivere $x^{3} \frac{d g}{d x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 y + \frac{x^{3} \frac{d g}{d x} x}{x} + \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 y + \frac{x^{3} \frac{d g}{d x} x + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.5.6

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.5.6.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 y + \frac{x \cdot x^{3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.5.6.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.5.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 y + \frac{x^{1} x^{3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.5.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 y + \frac{x^{1 + 3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.5.6.3

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{2 y + \frac{x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.5.7

Per scrivere $2 y$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 y x}{x} + \frac{x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.5.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.7

Moltiplica $\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.7.1

Moltiplica $\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}$ per $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x \cdot x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.7.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.7.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.7.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{1} x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.7.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{1 + 3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.7.2.2

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{4}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x + 3 y)$

Passaggio 13.1.2

Semplifica $y (2 x + 3 y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.1

Riscrivi.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 0 + 0 + y (2 x + 3 y)$

Passaggio 13.1.2.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x + 3 y)$

Passaggio 13.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x) + y (3 y)$

Passaggio 13.1.2.4

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + y (3 y)$

Passaggio 13.1.2.4.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y \cdot y$

Passaggio 13.1.2.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.5.1

Sposta $y$ .

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 (y \cdot y)$

Passaggio 13.1.2.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y^{2}$

Passaggio 13.1.3

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.1

Sottrai $2 y x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y^{2} - 2 y x$

Passaggio 13.1.3.2

Sottrai $3 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 2 y x + 3 y^{2} - 2 y x - 3 y^{2}$

Passaggio 13.1.3.3

Combina i termini opposti in $2 y x + 3 y^{2} - 2 y x - 3 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.3.1

Sottrai $2 y x$ da $2 y x$ .

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 3 y^{2} + 0 - 3 y^{2}$

Passaggio 13.1.3.3.2

Somma $3 y^{2}$ e $0$ .

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 3 y^{2} - 3 y^{2}$

Passaggio 13.1.3.3.3

Sottrai $3 y^{2}$ da $3 y^{2}$ .

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$

Passaggio 13.1.4

Dividi per $x^{4}$ ciascun termine in $x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.1

Dividi per $x^{4}$ ciascun termine in $x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$ .

$\frac{x^{4} \frac{d g}{d x}}{x^{4}} = \frac{0}{x^{4}}$

Passaggio 13.1.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{4} \frac{d g}{d x}}{x^{4}} = \frac{0}{x^{4}}$

Passaggio 13.1.4.2.1.2

Dividi $\frac{d g}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{4}}$

Passaggio 13.1.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.3.1

Dividi $0$ per $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Passaggio 14.3

L'integrale di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Passaggio 14.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + C$

Passaggio 16

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} y^{2} - \frac{1}{x^{3}} (x y) + C$

Passaggio 16.2

$y^{2}$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (x y) + C$

Passaggio 16.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{3}}$ nel numeratore.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{3}} (x y) + C$

Passaggio 16.3.2

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x y) + C$

Passaggio 16.3.3

Scomponi $x$ da $x y$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x (y)) + C$

Passaggio 16.3.4

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x y) + C$

Passaggio 16.3.5

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{2}} y + C$

Passaggio 16.4

$\frac{- 1}{x^{2}}$ e $y$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- y}{x^{2}} + C$

Passaggio 16.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} - \frac{y}{x^{2}} + C$