Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = 0$ ; dengan $y (0) = 1$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 2 x d x}$

Passaggio 1.2

Integra $2 x$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 \int x d x}$

Passaggio 1.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{1 x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{x^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{x^{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $e^{x^{2}}$ per $0$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 0$

Passaggio 2.4

Riordina i fattori in $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 0$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 0$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 0$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 0 d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{x^{2}} y = \int 0 d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

L'integrale di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x^{2}} y = 0 + C$

Passaggio 6.2

Somma $0$ e $C$ .

$e^{x^{2}} y = C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{x^{2}}$ ciascun termine in $e^{x^{2}} y = C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $e^{x^{2}}$ ciascun termine in $e^{x^{2}} y = C$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x^{2}}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 8

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $1$ in $y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$ .

$1 = \frac{C}{e^{0^{2}}}$

Passaggio 9

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 9.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$ .

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$

Passaggio 9.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $e^{0^{2}}$ .

$e^{0^{2}} \frac{C}{e^{0^{2}}} = e^{0^{2}} \cdot 1$

Passaggio 9.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 9.3.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 9.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{0^{2}}$ .

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Passaggio 9.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$e^{0^{2}} \frac{C}{e^{0^{2}}} = e^{0^{2}} \cdot 1$

Passaggio 9.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$C = e^{0^{2}} \cdot 1$

Passaggio 9.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 9.3.2.1

Semplifica $e^{0^{2}} \cdot 1$ .

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Passaggio 9.3.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$C = e^{0} \cdot 1$

Passaggio 9.3.2.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$C = 1 \cdot 1$

Passaggio 9.3.2.1.3

Moltiplica $1$ per $1$ .

$C = 1$

Passaggio 10

Sostituisci $1$ a $C$ in $y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$ e semplifica.

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Passaggio 10.1

Sostituisci $1$ a $C$ .

$y = \frac{1}{e^{x^{2}}}$