Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = 0.6 y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} (0.6 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = 0.6 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.2

$0.6$ e $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{0.6}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $y^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{0.6}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = 0.6$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 0.6 d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 0.6 d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 0.6 d t$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 0.6 d t$

Passaggio 2.2.1.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 0.6 d t$

Passaggio 2.2.1.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 0.6 d t$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $y$ è $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 0.6 d t$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 0.6 t + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 0.6 t + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y^{\frac{1}{2}} = 0.6 t + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y^{\frac{1}{2}} = 0.6 t + K$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{0.6 t}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{0.6 t}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi $y^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6 t}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Scomponi $0.6$ da $0.6 t$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6 (t)}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6 (t)}{2 (1)} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Frazioni separate.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6}{2} \cdot \frac{t}{1} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.4

Dividi $0.6$ per $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = 0.3 \frac{t}{1} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.3.1.5

Dividi $t$ per $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = 0.3 t + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Semplifica.

$y = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Riscrivi ${(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$ come $(0.3 t + \frac{K}{2}) (0.3 t + \frac{K}{2})$ .

$y = (0.3 t + \frac{K}{2}) (0.3 t + \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.2

Espandi $(0.3 t + \frac{K}{2}) (0.3 t + \frac{K}{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = 0.3 t (0.3 t + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (0.3 t + \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = 0.3 t (0.3 t) + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t + \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = 0.3 t (0.3 t) + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = 0.3 \cdot 0.3 t \cdot t + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2.1

Sposta $t$ .

$y = 0.3 \cdot 0.3 (t \cdot t) + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$y = 0.3 \cdot 0.3 t^{2} + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.3

Moltiplica $0.3$ per $0.3$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4

Moltiplica $0.3 t \frac{K}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4.1

$0.3$ e $\frac{K}{2}$ .

$y = 0.09 t^{2} + t \frac{0.3 K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4.2

$t$ e $\frac{0.3 K}{2}$ .

$y = 0.09 t^{2} + \frac{t (0.3 K)}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.5

Sposta $0.3$ alla sinistra di $t$ .

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3 \cdot t K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.6

Scomponi $0.3$ da $0.3 \cdot t K$ .

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3 (t K)}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.7

Scomponi $2$ da $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3 (t K)}{2 (1)} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.8

Frazioni separate.

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3}{2} \cdot \frac{t K}{1} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.9

Dividi $0.3$ per $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 \frac{t K}{1} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.10

Dividi $t K$ per $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 (t K) + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.11

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.3 \frac{K}{2} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.12

$0.3$ e $\frac{K}{2}$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3 K}{2} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.13

Scomponi $0.3$ da $0.3 K$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3 K}{2} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.14

Scomponi $2$ da $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3 K}{2 (1)} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.15

Frazioni separate.

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3}{2} \cdot \frac{K}{1} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.16

Dividi $0.3$ per $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 \frac{K}{1} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.17

Dividi $K$ per $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.18

Moltiplica $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.18.1

Moltiplica $\frac{K}{2}$ per $\frac{K}{2}$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.18.2

Eleva $K$ alla potenza di $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.18.3

Eleva $K$ alla potenza di $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.18.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.18.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.18.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.3.2

Somma $0.15 t K$ e $0.15 K t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.2.1

Sposta $t$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 K t + 0.15 K t + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.3.2.2

Somma $0.15 K t$ e $0.15 K t$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.3 K t + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.4

Semplifica $0.09 t^{2} + 0.3 K t + \frac{K^{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta $0.09 t^{2}$ .

$y = 0.3 K t + \frac{K^{2}}{4} + 0.09 t^{2}$

Passaggio 3.4.2

Riordina $0.3 K t$ e $\frac{K^{2}}{4}$ .

$y = \frac{K^{2}}{4} + 0.3 K t + 0.09 t^{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = K + K t + 0.09 t^{2}$