Calcolo Esempi

$- 3 (y d) x + 2 x d y = 0$

Passaggio 1

Somma $3 y d x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x d y = 3 y d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (2 x) d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Passaggio 3.2

$2$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{2}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2}{y} d y = 3 \frac{1}{x y} y d x$

Passaggio 3.5

$3$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{x y} y d x$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{y x} y d x$

Passaggio 3.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{y x} y d x$

Passaggio 3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{3}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{3}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$2 \ln (| y |) = 3 \ln (| x |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$2 \ln (| y |) - 3 \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica $2 \ln (| y |) - 3 \ln (| x |)$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1.1

Semplifica $2 \ln (| y |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({| y |}^{2}) - 3 \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (y^{2}) - 3 \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2.1.1.3

Semplifica $- 3 \ln (| x |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\ln (y^{2}) - \ln ({| x |}^{3}) = C$

Passaggio 5.2.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}) = C$

Passaggio 5.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}})} = e^{C}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}$

Passaggio 5.5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} = e^{C}$ .

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} = e^{C}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica ogni lato per ${| x |}^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.3.1

Elimina il fattore comune di ${| x |}^{3}$ .

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Passaggio 5.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

Passaggio 5.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = e^{C} {| x |}^{3}$

Passaggio 5.5.4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.5.4.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{e^{C} {| x |}^{3}}$

Passaggio 5.5.4.2

Semplifica $\pm \sqrt{e^{C} {| x |}^{3}}$ .

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Passaggio 5.5.4.2.1

Riscrivi $e^{C} {| x |}^{3}$ come ${| x |}^{2} (e^{C} | x |)$ .

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Passaggio 5.5.4.2.1.1

Metti in evidenza ${| x |}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{e^{C} ({| x |}^{2} | x |)}$

Passaggio 5.5.4.2.1.2

Riordina $e^{C}$ e ${| x |}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{| x |}^{2} e^{C} | x |}$

Passaggio 5.5.4.2.1.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \pm \sqrt{{| x |}^{2} (e^{C} | x |)}$

Passaggio 5.5.4.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

Passaggio 5.5.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.5.4.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.