Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y + y}{x + x y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Scomponi $y$ da $x y + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y}{x + x y}$

Passaggio 1.1.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y^{1}}{x + x y}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y \cdot 1}{x + x y}$

Passaggio 1.1.4

Scomponi $y$ da $y x + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x + x y}$

Passaggio 1.2

Scomponi $x$ da $x + x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x^{1} + x y}$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot 1 + x y}$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot 1 + x (y)}$

Passaggio 1.2.4

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot (1 + y)}$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $x$ per $1 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x (1 + y)}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x} \cdot \frac{y}{1 + y}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{1 + y}{y}$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} (\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{y}{1 + y})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $\frac{x + 1}{x}$ per $\frac{y}{1 + y}$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{x (1 + y)}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di $1 + y$ .

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Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $1 + y$ da $x (1 + y)$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{(1 + y) x}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{(1 + y) x}$

Passaggio 1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{x}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $y$ da $(x + 1) y$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

Passaggio 1.5.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

Passaggio 1.5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1 + y}{y} d y = \frac{x + 1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1 + y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int \frac{1}{y} + \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{y} d y + \int d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2.5

Applica la regola costante.

$\ln (| y |) + C_{1} + y + C_{2} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$\ln (| y |) + y + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2.7

Riordina i termini.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + \ln (| x |) + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y + \ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$