Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 (7 - x)}$ ; with $y (6) = 19$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{7 - x} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 7 - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 7 - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u} d u$

Passaggio 2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int - \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- (\ln (| u |) + C_{2}))$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \ln (| u |)) + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2

$\frac{1}{3}$ e $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\ln (| u |)}{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 - x$ .

$y + C_{1} = - \frac{\ln (| 7 - x |)}{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Riordina i termini.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $6$ e $y$ con $19$ in $y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$ .

$19 = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - 6 |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C = 19$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C = 19$

Passaggio 4.2

Semplifica $- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Sottrai $6$ da $7$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 1 |) + C = 19$

Passaggio 4.2.1.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (1) + C = 19$

Passaggio 4.2.1.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + C = 19$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Passaggio 4.2.1.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3}) + C = 19$

Passaggio 4.2.1.4.2

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{3}$ .

$0 + C = 19$

Passaggio 4.2.2

Somma $0$ e $C$ .

$C = 19$

Passaggio 5

Sostituisci $19$ a $C$ in $y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $19$ a $C$ .

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + 19$

Passaggio 5.2

Moltiplica $- \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)$ .

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Passaggio 5.2.1

Riordina $\ln (| 7 - x |)$ e $\frac{1}{3}$ .

$y = - (\frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)) + 19$

Passaggio 5.2.2

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$y = - \ln ({| 7 - x |}^{\frac{1}{3}}) + 19$