Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = y^{3}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{3}} y^{3}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{3}} y^{3}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d t} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{3}} d y = 1 d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int d t$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int d t$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int d t$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 3}$ rispetto a $y$ è $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ come $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{y^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = t + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = t + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 y^{2}, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$2 y^{2}$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $2 y^{2}$ ciascun termine in $- \frac{1}{2 y^{2}} = t + K$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{2 y^{2}} = t + K$ per $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = t (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2 y^{2}$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2 y^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = t (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = t (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = t (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 1 = 2 t y^{2} + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.2.3.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 1 = 2 t y^{2} + 2 K y^{2}$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $2 t y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$ .

$2 t y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $2 y^{2}$ da $2 t y^{2} + 2 K y^{2}$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Scomponi $2 y^{2}$ da $2 t y^{2}$ .

$2 y^{2} (t) + 2 K y^{2} = - 1$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi $2 y^{2}$ da $2 K y^{2}$ .

$2 y^{2} (t) + 2 y^{2} K = - 1$

Passaggio 3.3.2.3

Scomponi $2 y^{2}$ da $2 y^{2} (t) + 2 y^{2} K$ .

$2 y^{2} (t + K) = - 1$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $2 (t + K)$ ciascun termine in $2 y^{2} (t + K) = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $2 (t + K)$ ciascun termine in $2 y^{2} (t + K) = - 1$ .

$\frac{2 y^{2} (t + K)}{2 (t + K)} = \frac{- 1}{2 (t + K)}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y^{2} (t + K)}{2 (t + K)} = \frac{- 1}{2 (t + K)}$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} (t + K)}{t + K} = \frac{- 1}{2 (t + K)}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $t + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} (t + K)}{t + K} = \frac{- 1}{2 (t + K)}$

Passaggio 3.3.3.2.2.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{2 (t + K)}$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (t + K)}$

Passaggio 3.3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$

Passaggio 3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.