Calcolo Esempi

$x^{2} + x y + y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{x}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d x}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d x}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y + y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2}$

Passaggio 1.1.1.2

Sottrai $x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y$

Passaggio 1.1.1.3

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $- y^{2}$ ciascun termine in $- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $- y^{2}$ ciascun termine in $- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} \frac{d x}{d y}}{- y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2.2.2

Dividi $\frac{d x}{d y}$ per $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x y}{y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Elimina il fattore comune di $y$ e $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.3.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.3.2.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y \cdot y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y \cdot y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.4

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + 1$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ come ${(\frac{x}{y})}^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} = {(\frac{x}{y})}^{2} + \frac{x}{y} + 1$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{x}{y}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} = V^{2} + V + 1$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{x}{y}$ per $x$ .

$x = V y$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $x = V y$ rispetto a $y$ .

$\frac{d x}{d y} = y \frac{d V}{d y} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $y \frac{d V}{d y} + V$ a $\frac{d x}{d y}$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = V^{2} + V + 1$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + V + 1 - V$

Passaggio 6.1.1.1.2

Combina i termini opposti in $V^{2} + V + 1 - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.2.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 0 + 1$

Passaggio 6.1.1.1.2.2

Somma $V^{2}$ e $0$ .

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$

Passaggio 6.1.1.2

Dividi per $y$ ciascun termine in $y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Dividi per $y$ ciascun termine in $y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$ .

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Passaggio 6.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Passaggio 6.1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d y}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Passaggio 6.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{2} + 1}{y}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{V^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{y}$

Passaggio 6.1.4

Elimina il fattore comune di $V^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{y}$

Passaggio 6.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{y}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{V^{2} + 1} d V = \frac{1}{y} d y$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Riordina $V^{2}$ e $1$ .

$\int \frac{1}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 6.2.2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 6.2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + V^{2}}$ rispetto a $V$ è $\arctan (V) + C_{1}$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\arctan (V) = \ln (| y |) + C$

Passaggio 6.3

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $V$ da dentro l'arcotangente.

$V = \tan (\ln (| y |) + C)$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{x}{y}$ a $V$ .

$\frac{x}{y} = \tan (\ln (| y |) + C)$

Passaggio 8

Risolvi $\frac{x}{y} = \tan (\ln (| y |) + C)$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$\frac{x}{y} y = \tan (\ln (| y |) + C) y$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{y} y = \tan (\ln (| y |) + C) y$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \tan (\ln (| y |) + C) y$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Riordina i fattori in $\tan (\ln (| y |) + C) y$ .

$x = y \tan (\ln (| y |) + C)$