Calcolo Esempi

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 \sqrt{x}$

Passaggio 1

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $(1 + x^{2}) y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 1 + x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$(1 + x^{2}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 1.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + 2 x)$

Passaggio 1.6

Somma $0$ e $2 x$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (2 x)$

Passaggio 1.7

Sostituisci $\frac{d y}{d x}$ a $y'$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Passaggio 1.8

Riordina $1$ e $x^{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Passaggio 1.9

Rimuovi le parentesi.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Passaggio 1.10

Sposta $y$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Passaggio 2

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] = 3 \sqrt{x}$

Passaggio 3

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] d x = \int 3 \sqrt{x} d x$

Passaggio 4

Integra il lato sinistro.

$(1 + x^{2}) y = \int 3 \sqrt{x} d x$

Passaggio 5

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$(1 + x^{2}) y = 3 \int \sqrt{x} d x$

Passaggio 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(1 + x^{2}) y = 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 5.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 5.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Riscrivi $3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ come $3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 5.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

$3$ e $\frac{2}{3}$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 5.4.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 5.4.2.3

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 5.4.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 5.4.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 5.4.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$(1 + x^{2}) y = \frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 5.4.2.3.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6

Dividi per $1 + x^{2}$ ciascun termine in $(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $1 + x^{2}$ ciascun termine in $(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}} + C}{1 + x^{2}}$